Benutzer:Hijacker/Mathearbeit
Hier sammle ich prägnante, kurze Informationen, zum Lernen für meine morgige Mathearbeit.
D Definitionsbereich:
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Wie weit geht Gleichung auf x-Achse?
W Wertebereich:
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Wie hoch geht Gleichung auf y-Achse?
Lineare Funktionen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Normalform Lineare Funktion
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]y = mx +b, oder
m = Steigung
b = Verschiebungskonstante (y-Achsen Höhe)
Steigung bei Geraden (2 Punkte):
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Steigung anhand des Steigungsdreieicks
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Distanz von P zu Ursprung/zu Q
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]d² = x² + y²
Ursprung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Bsp.: P(3/4)
d² = 3² + 4² = 25
d = 5 (Wurzel d²!)
Zu anderem Punkt (Q)
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Für gilt:
Bsp.:P(3/4), Q(1/2)
d² = (1-3)² + (2-4)²
d² = (-2)² + (-2)²
d² = 8
Schnitt von Geraden
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Beide Gleichungen gleichsetzen: f(x) = g(x)
- x auf eine Seite bringen
- x isolieren
- x in eine der Gleichungen einsetzen
- y berechnen
Bsp.:
,
Gleichsetzen:
x isolieren:
x einsetzen und y berechnen:
Geraden Parallel setzen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Es muss nur b verändert werden.
Bsp.:
Gegeben: y = 2x + 3
Gesucht: Parallele durch P(3/5)
Steigung m=2 gleich, da Parallel.
Punkt P in obige Gleichung einsetzen:
5 = 2 * 3 + b
b = -1
Funktionsgleichung der parallelen Geraden: y = 2x -1
Geraden senkrecht zueinander
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Selber Funktionsterm.
Steigung m muss zum negativen Kehrwert umgewandelt werden (glaube ich).
muss -1 ergeben.
Mittelpunkt einer Geraden
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Länge einer Geraden
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Quadratische Funktionen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Normalform Quadratische Funktion
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]y = ax² + bx + c
Parameter a
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Stauchen/drücken/spiegeln
- a > 0 ... der Graph ist nach oben geöffnet. (1;2;3;4...)
- a < 0 ... der Graph ist nach unten geöffnetnet. (-1;-2;-3;-4...)
- | a | > 1 ... der Graph ist gestreckt, d.h. in die Länge gezogen, wodurch er schmaler erscheint. (1;2;3;4...)
- | a | < 1 ... der Graph ist gestaucht, d.h. in zusammengedrückt, wodurch er breiter erscheint. (0,1;0,2;0,3;0,4...)
- Für a = - 1 ist der Graph im Vergleich zur Normalparabel einfach an der x-Achse gespiegelt.
Parameter b
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Seitliche Verschiebung des Graphen (x-Achse).
f(x) = (x − 1)2 = x² − 2x + 1
(!) f(x) = x2 + 1x und f(x) = x2 + 2x verschieben gleichzeitig um 1 nach unten.
Parameter c
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Höhen Verschiebung des Graphen (y-Achse).
- c um 1 erhöht: Graph um 1 Einheit nach oben
- c um 1 verringert: Graph um 1 Einheit nach unten
Beispiele
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]f(x) = x² | 4 nach oben g(x) = x² + 4 | 2 nach rechts h(x) = (x-2)² + 4 | Streckung um 2 entlang y-Achse i(x) = 2*[(x-2)² + 4] = 2*(x-2)² + 8 | Spiegeln an x-Achse j(x) = -1*[2(x-2)² + 8] = -2*(x-2)²-8
Schnittpunkt mit y-Achse
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]x = 0
f(0) = ... -14 => P(0/-14)
Nullstellen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Lösen mit pq-Formel
Normalform (OHNE ax²): y = x² + bx + c
WENN ax² vorhanden, z.B. y = 3x² + 9x + 30, dann y gleich Null stellen und Formel durch 3 teilen:
0 = 3x² + 3x + 30 | :3
0 = x² + 3x + 10
D > 0, dann 2 Nullstellen
D = 0, dann eine Nullstelle,
D < 0, dann keine Nullstellen.
a, b, c mit Additions/Subtraktions Verfahren
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Alle gegebenen Punkte in Funktion einsetzen.
- Additions- Subtraktions Verfahren Anwenden (ggf. z.B. I-II und III-II und im 2. Schritt I'+II')
- Ergebnis: Entweder a, b, oder c.
- Variable in letzte Stufe einsetzen, 2. Variable errechnen.
- Beide Variablen in 1. Stufe einsetzen, 3. Variable errechnen.
Beispiel
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]P1(-2/12) P2(1/3) P3(3/7)
y = ax² + bx + c
I' + II' = 30a = 30
a = 1
2. Stufe:
6 * 1 - 6b = 18 | -6
-6b = 12 | :(-6)
b = -2
1. Stufe:
1 + (-2) + c = 3
-1 + c = 3 | -3
-4 + c = 0 | -c
-4 = -c | *(-1)
4 = c
Scheitel(form)
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Scheitelform:
Scheitel auf
Schneller/Einfacher:
Beispiel:
f(x) = 2 x 2 + 4x + 5
Kurz: S(-1|3)