Benutzer:Hp.Baumeler/Lichter Tag

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Berechnung der Dauer des lichten Tages

Himmelszelt bei Sonnenaufgang

Die Dauer des lichten Tages kann, ähnlich wie die Berechnung des Azimuts der aufgehenden Sonne, mit dem Seiten-Kosinussatz der sphärischen Trigonometrie berechnet werden. Dazu betrachtet man das Dreieck, das am Himmelszelt durch den Nordpol $(NP)$, den Zenit $(Z)$ des Beobachters und durch die Position der Sonne bei Sonnenaufgang aufgespannt wird. $\varphi$ ist die geographische Breite des Beobachters und $\delta$ die momentane Deklination der Sonne. $c$ ist die Zenitdistanz der Sonne vom Betrachter aus gesehen. Die drei Seiten $a,b,c$ des Dreiecks sind $a=(90^{\circ }-\delta )$ und $b=(90^{\circ }-\varphi )$. Bei Sonnenaufgang ist die Zenitdistanz der Sonne $c=90^{\circ }$.

$\gamma$ ist der Winkel am Nordpol zwischen dem Meridian des Beobachters und dem momentanen Meridian der Sonne bei Sonnenaufgang. Vom Moment des Sonnenaufganges bis Mittag, also dem Moment bei dem die Sonne auf dem Meridian des Beobachters steht, dreht sich die Erde um den Winkel $\gamma$. Die Erde dreht sich mit einer Winkelgeschwindigkeit von $15^{\circ }/h$. Die Tageshalbe dauert daher ${\frac {\gamma }{15^{\circ }/h}}$ und die Dauer des lichten Tages ist das Doppelte ${\frac {2\gamma }{15^{\circ }/h}}$

Der Winkel $\gamma$ berechnen sich wie folgt:

Der sphärische Seiten-Kosinussatz lautet:	$\cos c$	=	$\cos a\cdot \cos b+\sin a\cdot \sin b\cdot \cos \gamma$
Für $\gamma$ folgt:	$\gamma$	=	$\arccos \left[{\frac {\cos c-\cos a\cdot \cos b}{\sin a\cdot \sin b}}\right]$
Mit $a=(90^{\circ }-\delta ),b=(90^{\circ }-\varphi ),c=90^{\circ }$:	$\gamma$	=	$\arccos \left[-\tan \delta \cdot \tan \varphi \right]$

Dauer des lichten Tages[h] $={\frac {2\cdot \arccos \left[-\tan \delta \cdot \tan \varphi \right]}{15^{\circ }/h}}$

Mit dieser Formel wird die Dauer des lichten Tages als Funktion der Breite $\varphi$ und der Deklination $\delta$ berechnet.

uhu