Benutzer:KJakM/Primzahlen - Ordnung in der Unordnung, Zur Theorie der Primzahlen
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Primzahlen - Ordnung in der Unordnung
Zur Theorie der Primzahlen 1)
INHALT
1. Primzahlen und Primzahlprodukte als Differenzen der quadratischen Reihe
2. Darstellung von Primzahlen und Primzahlprodukten über arithmetische Reihen
2.1 Primzahlprodukte als Primzahlquadrate
2.2 Primzahlprodukte als zweifache Primzahl bzw. als zweifaches Primzahlprodukt
3. Darstellung von Primzahlen und Primzahlprodukten als Funktion
4. Die Rolle der Zahl 2 bei den Primzahlen
5. Die -innere- Struktur von Primzahlprodukten
6. Primzahlprodukt als Algorithmus
7. Die Primzahllücken
8. Unterscheidung von Primzahlen und Primzahlprodukten
8.1 Die „Sieb-Methode“
8.2 Die „Divisions-Methode“
9. Faktorisieren von Primzahlprodukten
9.1 Die kontinuierliche Näherung
9.2 Die diskontinuierliche Näherung
10. Anwendung des Algorithmus zur kontinuierlichen Annäherung an Px anhand RSA_Number_110
11. Abkürzungsverzeichnis
12. Quellenverweis
1. Primzahlen und Primzahlprodukte als Differenzen der quadratischen Reihe
Die Differenzen der quadratischen Reihe lassen sich als Binome darstellen. Mit N werden die natürlichen ganzen
Zahlen bezeichnet, mit denen die Werte der quadratischen Reihe berechnet werden. Es gelten:
(N+1)^2 minus N^2 oder
N^2 minus (N-1)^2.
In der Folge gehe ich allein von positiven, natürlichen, ganzen Zahlen aus. Bei (N-1)^2 minus N^2 ergeben sich
negative Primzahlen und Primzahlprodukte.
Beispiel
Quadratische Reihe
N N^2 Differenz Differenz
(n+1)^2-N^2 N^2-(N-1)^2
1 1 1
2 4 3 3
3 9 5 5
4 16 7 7
5 25 9 9
6 36 11 11
7 49 13 13
8 64 15 15
9 81 17 17
10 100 19 19
11 121 21 21
- - - -
131 17161
132 17424 263 263
133 17689 265 265
134 17956 267 267
- - - -
1168 1364224
1169 1366561 2337 2337
1170 1368900 2339 2339
Die Differenzen der quadratischen Reihe weisen sowohl Primzahlen als auch Primzahlprodukte auf. So sind 7, 17, 19,
263 und 2339 Primzahlen und 15, 21, 265, 267 und 2337 Primzahlprodukte.
2. Darstellung von Primzahlen und Primzahlprodukten über arithmetische Reihen
Primzahlen und Primzahlprodukte können auch über arithmetische Reihen dargestellt werden.
Dabei bilden arithmetische Reihen mit unterschiedlichen A1- und D-Gliedern unterschiedliche
Primzahlen und Primzahlprodukte ab.
2.1 Primzahlprodukte als Primzahlquadrate
Primzahlen und Primzahlquadrate bilden sich aus der arithmetischen Reihe mit dem Anfangsglied A1 gleich 8 und dem
Differenzglied D gleich 8. Die Primzahl bzw. das Primzahlprodukt ergibt sich als Summe der arithmetischen Reihe plus 1.
Dazu einige Beispiele
Arithmetische Reihe mit A1 gleich 8 und D gleich 8 zur Generierung von Primzahlen
und Primzahlquadraten
N AN Su Su plus 1 (Su plus 1)^(1/2)
1 8 8 9 3
2 16 24 25 5
3 24 48 49 7
4 32 80 81 9
5 40 120 121 11
- - - - -
26 208 2808 2809 53
27 216 3024 3025 55
- - - - -
114 912 52440 52441 229
- - - - -
123 984 61008 61009 247
124 992 62000 62001 249
125 1000 63000 63001 251
126 1008 64008 64009 253
2.2 Primzahlprodukte als zweifache Primzahl bzw. als zweifaches Primzahlprodukt
Zweifache Primzahlen und Primzahlprodukte bilden sich aus der arithmetischen Reihe mit dem Anfangsglied A1
gleich 2 und dem Differenzglied D gleich 4.
Dazu ebenfalls einige Beispiele
Arithmetische Reihe mit A1 gleich2 und D gleich 4 zur Generierung
von zweifachen Primzahlen und Primzahlprodukten
N AN AN / 2
1 2 1
2 6 3
3 10 5
4 14 7
5 18 9
6 22 11
7 26 13
8 30 15
9 34 17
10 38 19
- - -
114 454 227
- - -
123 490 245
124 494 247
125 498 249
126 502 251
127 506 253
3. Darstellung von Primzahlen und Primzahlprodukten als Funktion
Primzahlen und Primzahlprodukte können auch als Funktion dargestellt werden. Die Grundfunktion lautet dabei
F(X) gleich (2X+1)^2 woraus folgt F(X) gleich 4X^2 plus 4X plus 1.
Im Ergebnis erhalten wir, wie bei der arithmetischen Reihe mit A1 gleich 8 und D gleich 8, Primzahlprodukte in
der besonderen Form als Primzahlquadrate, aus denen dann durch Ziehung der Quadratwurzel Primzahlen oder weitere
Primzahlprodukte berechnet werden können.
Auch hierzu einige Beispiele
Berechnung von Primzahlprodukten als Primzahlquadrate
und Primzahlen
X Funktion 2. Wurzel
4X^2+4X+1 Funktion
1 9 3
2 25 5
3 49 7
4 81 9
5 121 11
6 169 13
7 225 15
- - -
114 52441 229
- - -
231 214369 463
232 216225 465
233 218089 467
234 219961 469
235 221841 471
4. Die Rolle der Zahl 2 bei den Primzahlen
Die Steigung einer Funktion wird aus der Relation der Differenzen von Y- und X-Werten ermittelt. Die Steigung M ist
dabei die Relation von Y2 minus Y1 durch X2 minus X1, also:
M = (Y2-Y1)/(X2-X1)
Hierzu einige Beispiele
PrimFakt X PrimFakt Y M
Px 13 Py 23 2
X 6 11
Px 23 Py 131 2
X 11 65
Px 29 Py 229 2
X 14 114
Px 131 Py 463 2
X 65 231
Px 229 Py 563 2
X 114 281
Px 263 Py 613 2
X 131 306
Daraus folgt, dass die Zahl 2 die Steigung der Prim-Funktion Y gleich 2X+1 ist.
Dies ist auch über die Funktion ableitbar:
F(X) gleich 2X+1 und F`(X) gleich 2X^0+1 gleich F`(X) gleich 2.
5. Die -innere- Struktur von Primzahlprodukten
Bisher gilt, dass ein Primzahlprodukt nur aus den jeweiligen Primzahlfaktoren gebildet werden kann. Also z.B. 229 mal
563 gleich 128927 oder 263 mal 613 gleich 161219.
Wird aber die Bedeutung des Binoms 2N+1 bzw. 2N-1 erkannt, dann liegt der Schritt nah, aus dem Primzahlbinom 1 auch die
weiteren Primzahlbinome zu entwickeln.
Wir erweitern also die quadratische Reihe mit dem Abstand N gleich 1 auf eine quadratische Reihe mit den Abständen
1, 3, 5, 7, 11, …., 23.
Es ergeben sich somit die (Primzahl-)Binome: (N+3)^2, (N+5)^2, (N+7)^2, (N+11)^2 und (N+23)^2
Daraus ergeben sich folgende, für jede Primzahl spezifische, Binomialwerte:
Binom
(N+1)^2-N^2 N^2+2N+1-N^2 2N+1
(N+3)^2-N^2 N^2+6N+9-N^2 6N+9
(N+5)^2-N^2 N^2+10N+25-N^2 10N+25
(N+7)^2-N^2 N^2+14N+49-N^2 14N+49
(N+11)^2-N^2 N^2+22N+121-N^2 22N+121
(N+13)^2-N^2 N^2+26N+169-N^2 26N+169
- - -
(N+23)^2-N^2 N^2+46N+529-N^2 46N+529
*) Anmerkung
Diese Binomialwerte bilden exakt die Addition der arithmetischen Reihen AN_R4 (mit A1 gleich 2) und AN_R8
(mit A1 gleich 8) ab. Erster Binomialwert gleich 2 mal Primzahl bzw. 2 mal Primzahlprodukt und zweiter Binomialwert
gleich Quadrat der Primzahl. Mathematisch dargestellt: AN_R4 plus Su plus 1_ AN_R8. Damit sind jeweils die kleinsten
Primzahlprodukte darstellbar -neben den besonderen Primzahlprodukten, den Primzahlquadraten. Werden die Werte der
arithmetischen Reihe AN_R4 mit NF (natürliche, ganze Zahl von Null, Eins, Zwei, Drei usw.) multipliziert, enstehen
die jeweils um 2 mal Primzahl größeren Primzahlprodukte.
PrimBinome und ihre Ergebnisse im Beispiel
Px 11
Px^2 121
2Px 22
NF 4
PrimProd 209
Py 209 / 11= 19
6. Primzahlprodukt als Algorithmus
Der Algorithmus für Primzahlprodukte lautet also (gedrehte Reihenfolge der Binomialwerte):
Primzahlprodukt gleich Px^2 plus 2 mal Px mal NF *)
oder
Primzahlprodukt gleich Py^2 minus 2 mal Py mal NF *).
*) Anmerkung
NF deshalb, um eine Unterscheidung zu N gewährleisten zu können. NF kann auch als AN / 2 der Reihe AN_R4 mit A1
gleich 4 definiert werden.
Hierbei ist nun aber NF definitiv zu bestimmen. Nun, NF ist exakt der hälftige Wert des Abstandes zwischen den beiden
Primzahlfaktoren Py und Px.
Aus dem Primzahl-Algorithmus Px^2 plus 2Px mal NF bzw. Py^2 minus 2Py mal NF gleich Primzahlprodukt läßt sich NF
berechnen:
NF gleich Pp minus Px^2 geteilt durch 2Px
NF gleich Py^2 minus Pp geteilt durch 2Py
Primzahlprodukt NF_Px NF_Py
128927 167 167
161219 175 175
164897 172 172
Wie nachfolgend an den Berechnungsbeispielen zur Berechnung von Primzahlprodukten erkennbar ist, bilden die NF-Werte
jeweils den halben Differenzwert zwischen Py und Px.
Beispiel
Primzahl Differenz NF Primzahlprodukt
Py minus Px (Pp-Px^2)/2Px
Px Py
229 334 563 167 128927
263 350 613 175 161219
269 344 613 172 164897
Die Differenz zwischen Py und Px läßt sich neben der Ableitung aus dem Algorithmus für das Primzahlprodukt auch als
AN-Wert einer arithmetischen Reihe mit dem A1-Wert gleich 4 und dem D-Wert gleich 4 berechnen. Für die oben genannten
Primzahlprodukte ergeben sich so beispielsweise folgende Werte:
Differenz N aus AN AN gleich
Py minus Px A1+((N-1)*4)
334 83,5 334
350 87,5 350
344 86 344
7. Die Primzahllücken
Unter Primzahllücken werden die Abstände zwischen den Primzahlen verstanden. Diese Abstände sind unterschiedlich. So
ist der Abstand zwischen den Primzahlen 7 und 11 die Zahl 4, während zwischen den Primzahlen 23 und 29 der Abstand die
Zahl 6 aufweist.
Nun, diese Unterschiede sind durch die Anzahl der Primzahlprodukte bestimmt, die sich aus den Primzahlen bilden.
Zwischen den Primzahlen 11 und 7 liegt das Primzahlprodukt 9 als Ergebnis aus 3^2.
Zwischen den Primzahlen 23 und 29 liegen die Primzahlprodukte 25 und 27 als Ergebnis aus 5^2 und 3^2 mal 3. Überall
dort, wo sich ein Primzahlprodukt befindet, kann keine Primzahl liegen.
Werden die Primzahlprodukte in der Reihe der Primzahlen eingefügt, dann ergibt sich immer der Abstand mit dem Wert 2.
8. Unterscheidung von Primzahlen und Primzahlprodukten
8.1 Die „Sieb-Methode“
Aus den bisherigen Darlegungen über die Primzahl-Binome ergibt sich eine „Sieb-Methode“.
Über das Primzahlbinom 2N+1 lassen sich alle Primzahlen und Primzahlprodukte, über die weiteren Primzahlbinome aber nur
die primzahlspezifischen Primzahlprodukte berechnen.
„Siebt“ man nun die Ergebnisse aus dem Primzahlbinom 2N+1 durch die „Siebe“ der primzahlspezifischen Primzahlprodukte
wie 6N+9 oder 14N+49, dann bleiben allein die Primzahlen übrig.
Dazu folgend einige Beispiele
"Sieben" von Primzahlprodukten
N 2N+1 6N+9 10N+25 14N+49
0 1 9 25 49
1 3 15 35 63
2 5 21 45 77
3 7 27 55 91
4 9 33 65 105
5 11 39 75 119
6 13 45 85 133
7 15 51 95 127
8 17 57 105 141
9 19 63 115 155
10 21 69 125 169
11 23 75 135 183
12 25
13 27
14 29
15 31
16 33
17 35
18 37
19 39
20 41
21 43
22 45
Die fettgedruckten Werte entsprechen den ausgesiebten Primzahlprodukten.
8.2 Die „Divisions-Methode“
Aus den Primzahlprodukten der primzahlspezifischen Primzahlbinome können durch Division auch Primzahlen gewonnen
werden.
Die Primzahlprodukte werden durch die dem jeweiligen Primzahlbinom spezifisch zugrunde liegende Primzahl geteilt.
Auch hierzu einige Beispiele
Bestimmung von Primzahlen durch Division
PrimProd / PrimProd /
N 2N+1 6N+9 Primzahl 10N+25 Primzahl
Prim 3 5
0 1 9 3 25 5
1 3 15 5 35 7
2 5 21 7 45 9
3 7 27 9 55 11
4 9 33 11 65 13
5 11 39 13 75 15
6 13 45 15 85 17
7 15
8 17
9 19
10 21
Die fettgedruckten Werte entsprechen den ausgesiebten Primzahlprodukten.
9. Faktorisieren von Primzahlprodukten
Es können grundsätzlich zwei Wege zum Faktorisieren von Primzahlfaktoren aus Primzahlprodukten heraus unterschieden
werden.
9.1 Die kontinuierliche Näherung
Bei der kontinuierlichen Näherung werden X bzw. N jeweils Schritt für Schritt nur um 1 geändert. Das ist die Garantie
dafür, dass die Bestimmung des Primzahlfaktors nicht „übersprungen“ wird. Der Nachteil dabei ist, dass es bei sehr,
sehr großen Primzahlprodukten sehr lange dauert, bis das Ergebnis erreicht wird. Dies ist in einem überschaubaren
Zeitrahmen nicht ohne Rechnerunterstützung leistbar.
9.2 Die diskontinuierliche Näherung
Bei der diskontinuierlichen Näherung werden X bzw. N nicht Schritt für Schritt um jeweils 1 geändert sondern in großen
Sprüngen, das heißt, um Werte mit vielen Stellen vor dem Komma. Dabei tritt aber das Problem der Orientierung auf. Wie
kann sichergestellt werden, dass die Lösung nicht schon übersprungen wurde? Dafür bedarf es einer oder mehrerer
„Zielmarken“, die eine sichere Aussage darüber geben, wie weit X bzw. N noch angepasst werden können ohne die Lösung zu
überspringen.
9.1.1 Die kontinuierliche Näherung
Eine Lösung besteht darin, zu Beginn für das jeweilige Primzahlprodukt dasjenige X bzw. N zu ermitteln, das eine
Primzahl bzw. ein Primzahlprodukt generiert, deren Quadrat so nah wie möglich dem Primzahlprodukt entspricht.
So entspricht dem Primzahlprodukt 128927 die Primzahl 359 dieser Anforderung. Für das Primzahlprodukt 286263 ist das
das Primzahlprodukt 535. Wie gelangt man zu diesen Werten?
Der Algorithmus -die Entwicklung des Algorithmus beschreibe ich weiter unten, siehe *) Anmerkung- dafür ist:
Wurzel aus ((Primzahlprodukt minus 1) geteilt durch 4)-1.
Dafür Beispiele anhand der genannten Primzahlprodukte:
Primzahlproukt 128927 286283
X_PrimProd 179,531 267,526
180 *) 268 *)
Px1 (2X+1) oder (2X-1) 359 535
Px1^2 128881 286225
Differenz PrimProd
minus Px1^2 46 58
*) auf ganze Zahl gerundete Werte
Die berechnete Primzahl bzw. das berechnete Primzahlprodukt Px1 liegt zwischen den beiden Primzahlfaktoren Px und Py
der jeweiligen Primzahlprodukte. Durch Reduktion von X-PrimProd um jeweils X bzw. N gleich 1 wird nun die Näherung und
Bestimmung von Px, dem kleineren Primzahlfaktor vorgenommen. Px ist dann erreicht, wenn das Primzahlprodukt geteilt
durch Px_ber eine natürliche ganze Zahl ist. Es kann auch eine Annäherung von Px1 an Py vorgenommen werden. Der
Algorithmus dafür lautet:
Annäherung an Px gleich Px1 minus 2 mal N
Annäherung an Py gleich Px1 plus 2 mal N
An den folgenden Beispielen wird dies deutlich (Annäherung an Px):
Primzahlproukt 128927 286283
X_PrimProd **) 179,531 267,526
180 *) 268 *)
Px1 (2X+1) oder (2X-1) 359 535
Px1^2 128881 286225
N 65 58
Px_ber 229 353
Py gleich
PrimProd / Px_ber 563 811
*) Auf ganze Zahl gerundete Werte
**) Anmerkung zur Berechnung von X-PrimProd:
Die Basisfunktion lautet Primzahlprodukt ist gleich 4x^2+4x plus 1. Es wird entwickelt:
PrimProd minus 1 = 4x^2+4x
PrimProd minus 1 = 4*(x^2+x)
(PrimProd minus 1)/ 4 = x^2+x
((PrimProd minus 1)/ 4)^(1/2) = (x^2/x)+(x/x)
((PrimProd minus 1)/ 4)^(1/2)-1 = x
oder
(PrimProd^(1/2) minus 1) / 2
9.2.1 Die diskontinuierliche Näherung
Hierzu habe ich noch keine ausreichend genaue Bestimmung von Zielmarken entwickeln können,
um bei der diskontinuierlichen Näherung jederzeit sicher zu stellen, dass die Lösung noch nicht übersprungen wurde.
10. Anwendung des Algorithmus zur kontinuierlichen Annäherung an Px anhand RSA_Number_110
Das bereits in PrimFaktoren zerlegte Primzahlprodukt lautet
35794234179725868774991807832568455403003778024228226193532908190484670252364677411513516111204504060317568667
Die Primzahlfaktoren sind
Px gleich 5846418214406154678836553182979162384198610505601062333
Py gleich 6122421090493547576937037317561418841225758554253106999
Bei dem von mir entwickelten und dargestellten Algorithmus wird aus dem Primzahlprodukt X-PrimProd berechnet.
X-PrimProd
((35794234179725868774991807832568455403003778024228226193532908190484670252364677411513516111204504060317568667-
1)/4)^(1/2)-1=
2991414137984152002050158927059115156842896921861804535,8030087983523990693070218
… und darauf folgend mit Px1 der erste Näherungswert für Px
Px1
(2*2991414137984152002050158927059115156842896921861804536)+1= 5982828275968304004100317854118230313685793843723609073
Nebenrechnung für N
Annäherung an Px
N-Anpassungen gleich (Px1 minus Px)/2
(5982828275968304004100317854118230313685793843723609073-5846418214406154678836553182979162384198610505601062333)/2=
68205030781074662631882335569533964743591669061273370
Annäherung an Py
N-Anpassungen gleich (Py minus Px1)/2
(6122421090493547576937037317561418841225758554253106999-5982828275968304004100317854118230313685793843723609073)/2=
69796407262621786418359731721594263769982355264748963
Anmerkung: Beim Näherungsverfahren ist diese Zahl N an Anpassungen erforderlich, um rechnerisch von Px1 zu Px bzw.
zu Py zu gelangen.
Ende Nebenrechnung für N
Px_ber gleich Px1 minus 2N
5982828275968304004100317854118230313685793843723609073-(2*68205030781074662631882335569533964743591669061273370)=
5846418214406154678836553182979162384198610505601062333
Py_div gleich PrimProd geteilt durch Px_ber
35794234179725868774991807832568455403003778024228226193532908190484670252364677411513516111204504060317568667/
5846418214406154678836553182979162384198610505601062333=
6122421090493547576937037317561418841225758554253106999
Py_ber gleich Px1 plus 2N
5982828275968304004100317854118230313685793843723609073+(2*69796407262621786418359731721594263769982355264748963)=
6122421090493547576937037317561418841225758554253106999
Px_div gleich PrimProd geteilt durch Py_ber
35794234179725868774991807832568455403003778024228226193532908190484670252364677411513516111204504060317568667/
6122421090493547576937037317561418841225758554253106999=
5846418214406154678836553182979162384198610505601062333
Anmerkung
Px1 liegt bei diesem Primzahlprodukt weiter von Py als von Px entfernt. Je nach den realen Primzahlfaktoren kann Px1
entweder näher an Px oder an Py liegen. Es ist also sinnvoll, sowohl die Annäherung an Px als auch an Py parallel
durchzuführen, da, wenn keine NF-Symmetrie für Px1 vorliegt, einer der Primzahlfaktoren schneller erreicht wird.
NF gleich (PrimProd minus Px^2) geteilt durch 2Px
(35794234179725868774991807832568455403003778024228226193532908190484670252364677411513516111204504060317568667-
5846418214406154678836553182979162384198610505601062333^2)/(2*5846418214406154678836553182979162384198610505601062333)=
138001438043696449050242067291128228513574024326022333
Differenz Py_ber minus Px_ber
6122421090493547576937037317561418841225758554253106999-5846418214406154678836553182979162384198610505601062333=
276002876087392898100484134582256457027148048652044666
Differenz Py minus Px geteilt durch NF gleich 2
276002876087392898100484134582256457027148048652044666/ 138001438043696449050242067291128228513574024326022333=
2,0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
Die Primzahlfaktoren sind
Px gleich 5846418214406154678836553182979162384198610505601062333
Py gleich 6122421090493547576937037317561418841225758554253106999
Algorithmus für Primzahlprodukte ist -vom kleineren Primzahlfaktor Px ausgehend- Px^2 plus 2Px mal NF
5846418214406154678836553182979162384198610505601062333^2+
(2*5846418214406154678836553182979162384198610505601062333*138001438043696449050242067291128228513574024326022333)=
35794234179725868774991807832568455403003778024228226193532908190484670252364677411513516111204504060317568667
Algorithmus für Primzahlprodukte ist -vom größeren Primzahlfaktor Py ausgehend- Py^2 minus 2Py mal NF
6122421090493547576937037317561418841225758554253106999^2-
(2*6122421090493547576937037317561418841225758554253106999*138001438043696449050242067291128228513574024326022333)=
35794234179725868774991807832568455403003778024228226193532908190484670252364677411513516111204504060317568667
Probe
RSA_110 durch Primzahlprodukt Px^2 plus 2Px mal NF
35794234179725868774991807832568455403003778024228226193532908190484670252364677411513516111204504060317568667/
35794234179725868774991807832568455403003778024228226193532908190484670252364677411513516111204504060317568667=
1,0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
Steigung M gleich (Py_ber minus Px_ber) geteilt durch (X_Py_ber minus X_Px_ber)
(6122421090493547576937037317561418841225758554253106999-5846418214406154678836553182979162384198610505601062333)/
(3061210545246773788468518658780709420612879277126553499-2923209107203077339418276591489581192099305252800531166)=
2,0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
11. Abkürzungsverzeichnis
# AN gleich Endglied einer arithmetischen Reihe
# A1 gleich Anfangsglied einer arithmetischen Reihe
# D gleich Differenzglied einer arithmetischen Reihe
# Su gleich Summe einer arithmetischen Reihe
# AN_R8 gleich arithmetische Reihe mit D gleich 8
# AN_R4 gleich arithmetische Reihe mit D gleich 4
# N bzw. X sind ganze natürliche Zahlen für die Berechnung von arithmetischen Reihen, von Primzahlbinomen, von
Funktionen und deren Änderung
# NF gleich N-Faktor ist der Wert, der die halbe Differenz von Py du Px bestimmt
# PrimProd gleich Primzahlprodukt
# Pp gleich Primzahlprodukt
# PrimFakt gleich Primzahlfaktor
# Px1 gleich erster berechneter Primzahlfaktor, der durch Änderung von N bzw. X zur Berechnung von Px, dem kleineren
Primzahlfaktor, führt
# Px gleich der kleinere PrimFaktor Px
# Py gleich der größere PrimFaktor Py
# Px_ber gleich PrimFaktor Px berechnet
# Px_div gleich PrimFaktor Px als Quotient aus PrimProd geteilt durch Py_ber
# Py_div gleich PrimFaktor Py als Quotient aus PrimProd geteilt durch Px_ber
# X_PrimProd ist der -auf der Basis des gegebenen Primzahlproduktes- berechnete X-Wert,
der zur Berechnung von Px1 führt
# RSA 2)
(2000) Ein nach seinen Entwicklern Ron Rivest, Adi Shamir und Leonard Adleman benannter Algorithmus zur
Datenverschlüsselung. Das 1977 beschriebene Verfahren beruht darauf, dass es bei Produkten sehr großer Primzahlen sehr
aufwendig ist, die Primfaktoren herauszufinden. Die drei gründeten die Firma RSA Security und meldeten den Algorithmus
zum Patent an.
12. Quellenverweis
1) Quelle für meine Ausführungen ist meine Arbeit „Primzahlen – Ordnung in der Unordnung, Zur Theorie der
Primzahlen“ vom 11. Februar 2011, Autor Karl Jakob Matl
2) RSA
Definition nach lexikon.martinvogel.de
--KJakM (Diskussion) 23:19, 24. Nov. 2013 (CET)