Benutzer:Kirby88/Homogenes Evolutionssystem

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Mit dem homogenen Evolutionssystem erhält man eine Klasse von Lösungen, auf der die Theorie der schwachen Lösungen für die homogene Stokes-Gleichung beruht.

Sei P die Helmholtz-Projektion und der Stokes-Operator. Damit wird das Evolutionssystem erhalten:

(Evolutionsgleichung)

(Anfangswert)

Für den homogenen Fall wird f=0 gesetzt.

Es wird gezeigt, dass mit die Spektralrepräsentation, das homogene Evolutionssystem löst.

Damit ist die Anfangswertbedingung erfüllt.

Damit ist auch die Evolutionsgleichung erfüllt und die Behauptung ist bewiesen.

Weitere Eigenschaften

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Sei D aus R^n mit n aus N \{1} und {S(t), t>=0} die Stokes-Untergruppe von D. Dann gilt für

  1. u ist stetig
  2. u' existiert und ist stetig

Inhomogener Fall

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Im inhomogenen Fall muss gezeigt werden, dass das Evolutionssystem

mit f ungleich 0.

Da der Term schon im homogenen Fall betrachtet worden ist, wird gesetzt

=> es wird betrachtet.

Offensichtlich ist u(0)=0.

Es muss also nur noch die Evolutionsgleichung <=> überprüft werden. Dazu wird der Integrationsoperator I. definiert.

Mit dem Satz von Fubini und (S(t-r)w)'=-AS(t-r)w wird erhalten:

=>

=>

Somit ist die Behauptung bewiesen.

[[Kategorie:Partielle Differentialgleichungen]]