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Mit dem homogenen Evolutionssystem erhält man eine Klasse von Lösungen, auf der die Theorie der schwachen Lösungen für die homogene Stokes-Gleichung beruht.
Sei P die Helmholtz-Projektion und
der Stokes-Operator. Damit wird das Evolutionssystem erhalten:
(Evolutionsgleichung)
(Anfangswert)
Für den homogenen Fall wird f=0 gesetzt.
Es wird gezeigt, dass
mit
die Spektralrepräsentation, das homogene Evolutionssystem löst.
Damit ist die Anfangswertbedingung erfüllt.
Damit ist auch die Evolutionsgleichung erfüllt und die Behauptung ist bewiesen.
Sei D aus R^n mit n aus N \{1} und {S(t), t>=0} die Stokes-Untergruppe von D. Dann gilt für
- u ist stetig
- u' existiert und ist stetig
![{\displaystyle ||u(t)||_{2}<=||u'(t)||_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fd63d7ade14c8cac3acb660244032b0c9fb4a11)
Im inhomogenen Fall muss gezeigt werden, dass
das Evolutionssystem
mit f ungleich 0.
Da der Term
schon im homogenen Fall betrachtet worden ist, wird
gesetzt
=> es wird
betrachtet.
Offensichtlich ist u(0)=0.
Es muss also nur noch die Evolutionsgleichung
<=>
überprüft werden. Dazu wird der Integrationsoperator I.
definiert.
Mit dem Satz von Fubini und (S(t-r)w)'=-AS(t-r)w wird erhalten:
=>
=>
Somit ist die Behauptung bewiesen.
[[Kategorie:Partielle Differentialgleichungen]]