Benutzer:Mühlenberg/InArbeit/Aizermansche Potentialfunktion

Die Aizermansche Potentialfunktion ist eine durch Parameter beschriebene, stetig differenzierbare, unimodale Funktion, die an jeder Stelle ihres Definitionsgebietes echt größer als Null ist. Sie beschreibt ein Wirkungsgebiet einer Erscheinung, die sich nicht scharf abgrenzen läßt .

Aizermansche Potentialfunktion

Diese Funktion wird u.a. als Zugehörigkeitsfunktion bei der Fuzzy-Pattern-Klassifikation eingesetzt, um die Unschärfe von Objekten und Klassen parametrisch zu beschreiben. Die Parameter der Funktion sind gut interpretierbar. Sie ist gut an die Verteilung kompakt liegender Objekte im Merkmalsraum anpassbar, wenn sie als Klassenzugehörigkeitsfunktion aus Beispielobjekten durch überwachten Lernens berechnet wird.

Parametrische Beschreibung der Funktion

Aizermansche Potentialfunktion mit links- und rechtsseitig unterschiedlichen Parametern

Die Funktion kann mit den Parametern x₀,b,c,d analytisch beschrieben werden:

$\mu (x,b,c,d)={\frac {1}{1+\left({\frac {1}{b}}-1\right)|{\frac {x_{0}-x_{i}}{c}}|^{d}}}$.

• Ausdehnung: Parameter c

Durch den Parameter c wird die scharf betrachtete Wirkungsgebiet der Erscheinung beschrieben.

• Randzugehörigkeit: Parameter b

Der Parameter b beschreibt die vorhanden Zugehörigkeit der Erscheinung an den Punkten x₀±c.

Die Punkte x₀±c kann als Rand der Ausprägung angesehen werden.

• Verlauf der Zugehörigkeitsfunktion: Parameter d

Durch diesen Parameter wird der stetige fallende Verlauf der Zugehörigkeitsfunktion zum Rand hin beschrieben.

• Lageinformation: Parameter x₀

Der Punkt x₀ kennzeichnet den Repräsentanten einer unscharfen Menge (Klasse). Er kann z.B. als Schwerpunkt einer Klasse oder als arithmetisches Mittel aller eine Klasse bildenden Objekte angesehen werden.

Die Flexibilität wird durch unterschiedliche Parameter des linken und rechten Astes der Funktion erhöht.

$\mu (x,b_{l,r},c_{l,r},d_{l,r})={\frac {1}{1+{\frac {1}{2}}(1+sgn(x_{0}-x))({\frac {1}{b_{l}}}-1)({\frac {x-x_{0}}{c_{l}}})^{d_{l}}+{\frac {1}{2}}(1+sgn(x_{0}-x))({\frac {1}{b_{r}}}-1)({\frac {x-x_{0}}{c_{r}}})^{d_{r}}}}$.

Referenzen

Kategorie:Klassifikationsverfahren Kategorie:Klassifizierung