Benutzer:Markus Bärlocher/Berechnung der Segelfläche

Grössen zur Bestimmung des Segels

Der Segel-Typ ist bestimmt durch:

• Vorliek-Länge
• Senkrechte auf das Vorliek, die durch das Schothorn geht: "LP" (luff-perpendicular = Vorlieks-Lot)
• Segelfläche
• Segelwölbung

Laut IOR ergibt sich dann die Bezeichnung der Vorsegel einerseits aus dem Verhältnis LP / J. Und andererseits aus dem Verhältnis Lieklänge zu Vorstaglänge. Dabei ist "J" die Basis des Vorsegeldreieckes, also die Länge zwischen unterer Segelbefestigung und Mast.

Segel	LP/J	Vorliek	Fläche
Genua I	150 %	100 %	150 %
Genua II	140 %	95 %	133 %
Genua III	130 %	80 %	104 %
Fock I	100 %	95 %	96 %
Fock II	90 %	70 %	65 %
Sturmfock	60 %	50 %	30 %

Viele Segel haben am Segelhals einen Skizze der Segelform, beschriftet mit Segeltyp, Lieklängen, LP, J, Segelfläche.

Segel-Fläche

Die Fläche eines Segels kann folgendermassen bestimmt werden:

Grundformel für Fläche im Dreieck

Aus der Schule ist bekannt: Fläche im Dreieck = Seite * Höhe / 2.

$Segelflaeche={\frac {Vorliek\cdot LP}{2}}$

Dabei ist LP = Senkrechte auf das Vorliek, die durch das Schothorn geht.

Fläche aus drei Seiten

Am einfachsten zu messen sind die Längen von Vorliek, Unterliek und Achterliek. Aus der Schule wissen wir dass ein Dreieck durch drei Komponenten (Seitenlängen oder Winkel) vollständig bestimmt ist. Damit ist dann auch die Fäche gegeben. Im konkreten Fall liefert der Cosinus-Satz ein direkten Zugang zu den fehlenden Winkeln. Nachdem dann alles bekannt ist, kann man dann einfach die Höhe des Dreiecks bestimmen:

$F={\frac {1}{2}}ab{\sqrt {1-{\frac {(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}{4a^{2}b^{2}}}}}$

Heronische Formel

Mit der Formel des Heron ist diese Aufgabe viel einfacher zu lösen:

$F={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

wobei s = 1/2 (a + b + c) , also der halbe Umfang

Beweis der Heronischen Formel

Der Beweis der Heronische Formel ist etwas mühsam, aber direkt aus dem Satz des Pythagoras abzuleiten. Ein viel eleganterer Beweis wurde im Netz gefunden:

     Given a triangle with sides a,b,c, semiperimeter s, and area A,
     show that A^2 = s(s-a)(s-b)(s-c).
     Solution: Drop an altitude (of length h) to the side of length c.
     Then A = (1/2)ch, so A^2 = c^2 h^2 / 4.
     Use the Pythagorean Theorem to obtain the following system:
     (1) x^2 + h^2 = a^2
     (2) y^2 + h^2 = b^2
     (3) x + y = c
     Substitute y = c - x into (2) and simplify.
     Then subtract the result from (1).
     You will find that
     2cx = a^2 - b^2 + c^2.
     From (1),
     4c^2 h^2 = 4a^2 c^2 - 4c^2 x^2
     = (2ac + 2cx) (2ac - 2cx)
     = (2ac + a^2 - b^2 + c^2)(2ac - a^2 + b^2 -c^2)
     From (1),
     4c^2 h^2 = 4a^2 c^2 - 4c^2 x^2
     = (2ac + 2cx) (2ac - 2cx)
     = (2ac + a^2 - b^2 + c^2)(2ac - a^2 + b^2 -c^2)
     = ((a+c)^2 - b^2) (b^2 - (a-c)^2)
     = (a+c+b)(a+c-b)(b+a-c)(b-a+c)
     = (2s)(2s-2b)(2s-2c)(2s-2a)
     = 16s(s-a)(s-b)(s-c)

Cosinus / Semiversus

Ein Berechnungsverfahren, das die in der Seefahrt häufig verwendeten Tabellen des Cosinus oder des Semiversus benutzt, ist bisher nicht bekannt.

Quellen

     © Markus Bärlocher