Seien
beliebig und
eine stetige Funktion. Dann gilt für alle
: Es existiert ein Polynom
, das
erfüllt.
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit gelte
.
Sei
eine binomialverteilte Zufallsvariable mit den Parametern
der Anzahl der Versuche bis zum ersten Erfolg (bei einer Folge unabhängiger Bernoulli-Versuche) und Erfolgswahrscheinlichkeit
. Dann gilt
.
Mit dem schwachen Gesetz der großen Zahlen (
!) folgt
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{P\left(\left|{\frac {K}{n}}-p\right|>\delta \right)}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb489deee710b0d4c8c457315558ee6c2918e541)
für alle
(Konvergenz in Wahrscheinlichkeit von
gegen
).
Diese Konvergenz bzgl.
ist sogar gleichmäßig in
, weil gemäß dem folgenden Lemma die Varianz von
durch eine Nullfolge ohne Abhängigkeit von
nach oben hin und nach unten hin durch 0 beschränkt ist.
Die Varianz von
ist beschränkt durch
.
Da
binomialverteilt ist, ist
. Wir suchen das globale Maximum bezüglich
auf
.
. Bei
befindet sich also ein lokaler Extremwert. Wegen
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}Var(K/n)}{\partial ^{2}p}}=-2>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/277e9c159942e64b050fa1bf37643c6d7a39c2ec)
an der Stelle
ist dieses lokale Extremum ein lokales Maximum. Auf dem Rand (für
oder
) ist die Varianz 0 und damit kleiner dem lokalen Maximum. Also liegt bei
ein globales Maximum mit Funktionswert
.
Das Intervall
ist abgeschlossen und beschränkt, also kompakt (Satz von Heine-Borel).
ist stetig (in
), also insbesondere fast überall stetig.
ist stetig, also messbar. Außerdem ist
auf einem kompakten Intervall definiert.
Also ist
auf diesem Intervall auch gleichmäßig stetig und beschränkt (durch
, eine integrierbare Funktion mit endlichem Erwartungswert, siehe Lemma).
Daraus folgt für alle
die gleichmäßige Konvergenz in Wahrscheinlichkeit in
(nach dem gleichmäßigen Gesetz der großen Zahl, ), also
.
(siehe auch hier????????) Aus der Beschränktheit von
(auf dem gegebenen Intervall) folgt mit dem Satz über die majorisierte Konvergenz für Zufallsvariablen die (gleichmäßige, weil Absolutbetrag unabhängig von
beschränkt und damit Erwartungswert ebenso (Monotonie des Erwartungswertes)) Konvergenz der Erwartungswerte
.
Für alle Funktionen
und alle natürlichen Zahlen
gilt:
![{\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{n}f(x){n \choose k}p^{k}(1-p^{n-k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ec21dff2b3fdbf4760e2a3b0072893eb3605fba)
aufgrund des Binomischen Lehrsatzes.
Gemäß dem Lemma 2 gilt
. Sei
. Wegen der Stetigkeit von
existiert dann ein
, sodass gilt:
Zerlege die Summe in zwei Teile:
- einen Teil
mit
-Werten, die
erfüllen und
- einen Teil
mit
-Werten, die diese Bedingung nicht erfüllen.
Wegen der Stetigkeit von
gilt für alle Summenglieder von
:
und für all jene von
:
wegen der Beschränktheit von
auf
. Daraus ergibt sich:
. Mit der Dreiecksgleichung des Erwartungswertes und seiner Linearität folgt für ein beliebiges, fixes
:
. Definiere die Bernstein-Polynome durch
mit
Dann genügt es, Lemma 3 zu zeigen, denn dann ist zusammengefasst (mit
):
Es folgt schrittweise aus dem Gesetz des bewusstlosen Statistikers (»law of unconscious statistician«), der Berechnung der Wahrscheinlichkeitsfunktion und dem Einsetzen der Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung das Ergebnis.