Benutzer:Physikaficionado/Zweikörperproblem

Energieerhaltung

Für das Keplerproblem im engeren Sinn ist die Kraft durch die Gravitation gegeben:

$F(r)=-G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}$

Verwendet man die Definition des Drehimpulses in Polarkoordinaten, um aus der anderen Differentialgleichung die Winkelgeschwindigkeit ${\dot {\varphi }}$ zu eliminieren, erhält man ein Gesetz für den Abstand $r$, die Radialgleichung

${\ddot {r}}-{\frac {L^{2}}{\mu ^{2}r^{3}}}=-{\frac {1}{\mu }}F(r)=-{\frac {GM}{r^{2}}}.$

Dies kann nach Multiplikation mit ${\dot {r}}$ und $\mu$ in der Form

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\mu }{2}}{\dot {r}}^{2}+{\frac {L^{2}}{2\mu r^{2}}}-{\frac {GM\mu }{r}}\right)=0$

geschrieben werden. Die drei Summanden in dieser Gleichung entsprechen der Reihenfolge nach dem Radialanteil der kinetischen Energie, dem Winkelanteil der kinetischen Energie, der als Zentrifugalpotential wie eine potentielle Energie die Radialbewegung beeinflusst, sowie der potentiellen Energie des Körpers im äußeren Zentralpotential. Gemeinsam ergeben sie seine Gesamtenergie

$E={\frac {\mu }{2}}{\dot {r}}^{2}+{\frac {L^{2}}{2\mu r^{2}}}-{\frac {GM\mu }{r}}\ ,$

die laut obiger Gleichung zeitlich konstant und somit ebenfalls ein Integral der Bewegung ist. Die Gesamtenergie muss natürlich schon allein deshalb erhalten sein, weil es sich bei einem Gravitationsfeld um ein konservatives Feld handelt. Siehe auch den Artikel Spezifische Bahnenergie, der sich näher damit befasst.