Benutzer:Suhagja/Triangulierung

Triangulierung einer Teilmenge der Ebene.

Triangulierbarkeit von Mannigfaltigkeiten

Mannigfaltigkeiten der Dimension $\geq 3$ sind stets triangulierbar. Casson zeigte, dass 4-Mannigfaltigkeiten mit gerader Schnittform und Signatur 8 nicht trianguliert werden können. Aus Freedmans Arbeit weiß man, dass es eine solche 4-Mannigfaltigkeit gibt, sie wird $E_{8}$ genannt. Davis-Januszkiewicz bewiesen, dass man durch Hyperbolisierung von $E_{8}$ eine nicht-triangulierbare asphärische 4-Mannigfaltigkeit bekommt. Alle differenzierbaren und alle PL-Mannigfaltigkeiten sind triangulierbar. Kirby und Siebenmann zeigten, dass nicht alle topologischen Mannigfaltigkeiten eine PL-Struktur besitzen. Sie zeigten aber auch, dass es triangulierbare Mannigfaltigkeiten ohne PL-Struktur gibt. Ende der 70er Jahre konstruierten Galewski und Stern eine Mannigfaltigkeit, die genau dann trianguliert werden kann, wenn jede Mannigfaltigkeit der Dimension $\geq 5$ trianguliert werden kann. 2013 bewies Manolescu, dass die Galewski-Stern-Mannigfaltigkeit nicht trianguliert werden kann. (Grund ist, dass der Rochlin-Homomorphismus nicht spaltet.) Mittels Hyperbolisierung zeigten Davis-Fowler-Lafont dann, dass es in Dimension $\geq 6$ nicht-triangulierbare asphärische Mannigfaltigkeiten gibt.