Bronstein:
∫
−
∞
∞
|
f
(
t
)
|
2
d
t
=
1
2
π
∫
−
∞
∞
|
F
(
ω
)
|
2
d
ω
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(t)|^{2}{\mbox{d}}t={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|F(\omega )|^{2}{\mbox{d}}\omega }
falls
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
und ihr Quadrat im Intervall
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle (-\infty ,\infty )}
integrierbar sind.
Sei
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
durch eine trigonometrische Summe
s
n
(
x
)
=
a
0
2
+
∑
k
=
1
n
a
k
cos
k
ω
x
+
∑
k
=
1
n
b
k
sin
k
ω
x
{\displaystyle s_{n}(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{n}a_{k}\cos k\omega x+\sum _{k=1}^{n}b_{k}\sin k\omega x}
auch Fourier-Summe genannt, angenähert.
Die Fourier-Summe konvergiert im Mittel gegen die Funktion
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
, d.h. es gilt
∫
0
T
[
f
(
x
)
−
s
n
(
x
)
]
2
d
x
→
0
{\displaystyle \int _{0}^{T}[f(x)-s_{n}(x)]^{2}{\mbox{d}}x\to 0}
für
n
→
∞
{\displaystyle n\to \infty }
, wenn die Funktion beschränkt und im Intervall
0
<
x
<
T
{\displaystyle 0<x<T}
stückweise stetig ist. Aus der Konvergenz im Mittel folgt die Parsevalsche Gleichung
2
T
∫
0
T
[
f
(
x
)
]
2
d
x
=
a
0
2
2
+
∑
k
=
1
∞
(
a
k
2
+
b
k
2
)
{\displaystyle {\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}[f(x)]^{2}{\mbox{d}}x={\frac {a_{0}^{2}}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }(a_{k}^{2}+b_{k}^{2})}
.
(Parsevalsche Gleichung II
Wenn das Integral auf der linken Seite einen Sinn hatm dann gilt stets
∫
a
b
[
g
(
x
)
]
2
ϱ
(
x
)
d
x
=
∑
n
=
0
∞
c
n
2
{\displaystyle \int _{a}^{b}[g(x)]^{2}\varrho (x){\mbox{d}}x=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}^{2}}
), siehe S. 534
Parsevalsche Gleichung III
Ist
(
β
n
(
y
)
)
{\displaystyle (\beta _{n}(y))}
ein Orthonormalsystem und
ψ
(
y
)
∈
L
2
[
a
,
b
]
{\displaystyle \psi (y)\in L^{2}[a,b]}
, dann heißt die Reihe
∑
j
=
1
∞
d
j
β
j
(
y
)
=
ψ
(
y
)
{\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }d_{j}\beta _{j}(y)=\psi (y)}
die Fourierreihe von
ψ
(
y
)
{\displaystyle \psi (y)}
bezüglich
(
β
n
(
y
)
)
{\displaystyle (\beta _{n}(y))}
, und die Zahlen
d
j
{\displaystyle d_{j}}
sind die zugehörigen Fourier-Koeffizienten. Für diese gilt auf Grund von
∫
a
b
β
i
(
y
)
β
j
(
y
)
d
y
=
1
für
i
=
j
0
für
i
≠
j
{\displaystyle \int _{a}^{b}\beta _{i}(y)\beta _{j}(y){\mbox{d}}y={\begin{array}{c}1{\mbox{ für }}i=j\\0{\mbox{ für }}i\neq j\end{array}}}
(Orthogonalität)
∫
a
b
β
k
(
y
)
ψ
(
y
)
d
y
=
∑
j
=
1
∞
d
j
∫
a
b
β
j
(
y
)
β
k
(
y
)
d
y
=
d
k
{\displaystyle \int _{a}^{b}\beta _{k}(y)\psi (y){\mbox{d}}y=\sum _{j=1}^{\infty }d_{j}\int _{a}^{b}\beta _{j}(y)\beta _{k}(y){\mbox{d}}y=d_{k}}
.
Ist
(
β
n
(
y
)
)
{\displaystyle (\beta _{n}(y))}
vollständig, dann gilt die Parsevalsche Gleichung
∫
a
b
|
ψ
(
y
)
|
2
d
y
=
∑
j
=
1
∞
|
d
j
|
2
{\displaystyle \int _{a}^{b}|\psi (y)|^{2}{\mbox{d}}y=\sum _{j=1}^{\infty }|d_{j}|^{2}}
Parsevalsche Gleichung IV
Im Hilbertraum.
x
∈
H
{\displaystyle x\in H}
. Wenn
x
{\displaystyle x}
die Darstellung
∑
n
=
1
∞
α
n
e
n
=
x
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\alpha _{n}e_{n}=x}
hat, dann sind
α
n
{\displaystyle \alpha _{n}}
die Fourierkoeffizienten von x. Ist
{
α
n
}
n
=
1
∞
{\displaystyle \{\alpha _{n}\}_{n=1}^{\infty }}
eine beliebige Zahlenfolge mit der Eigenschaft
∑
n
=
1
∞
|
α
n
|
2
<
∞
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|\alpha _{n}|^{2}<\infty }
, dann existiert in H genau ein Element
x
{\displaystyle x}
, dessen Fourier-Koeffizienten gerade die Zahlen
α
n
{\displaystyle \alpha _{n}}
sind und für das die Abgeschlossenheitsrelation oder Parsevalsche Gleichung
∑
n
=
1
∞
|
(
x
,
e
n
)
|
2
=
∑
n
=
1
∞
|
α
n
|
2
=
|
|
x
|
|
2
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|(x,e_{n})|^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }|\alpha _{n}|^{2}=||x||^{2}}
gilt (Satz von Riesz-Fischer)
Bei Asymmetrische und Symmetrischer Verteilung von
1
/
(
2
π
)
{\displaystyle 1/(2\pi )}
gilt
Es soll
∫
−
∞
∞
f
^
(
ω
)
g
(
ω
)
d
ω
=
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
g
^
(
t
)
d
t
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\omega )g(\omega ){\mbox{d}}\omega =\int _{-\infty }^{\infty }f(t){\hat {g}}(t){\mbox{d}}t}
bewiesen werden.
∫
−
∞
∞
f
^
(
ω
)
g
(
ω
)
d
ω
=
∫
−
∞
∞
(
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
g
(
ω
)
exp
(
−
i
ω
t
)
d
η
)
d
ω
=
∫
−
∞
∞
(
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
g
(
ω
)
exp
(
−
i
ω
t
)
d
ω
)
d
t
=
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
g
^
(
t
)
d
η
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\omega )g(\omega ){\mbox{d}}\omega =\int _{-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }f(t)g(\omega )\exp(-i\omega t){\mbox{d}}\eta \right){\mbox{d}}\omega =\int _{-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }f(t)g(\omega )\exp(-i\omega t){\mbox{d}}\omega \right){\mbox{d}}t=\int _{-\infty }^{\infty }f(t){\hat {g}}(t){\mbox{d}}\eta }
(Warum darf Integration vertauscht werden???)
Um nun zum "normalen" Satz von Parseval zukommen muss man
g
(
ω
)
=
f
^
(
ω
)
∗
{\displaystyle g(\omega )={\hat {f}}(\omega )^{*}}
setzen. Es gilt:
F
T
[
g
]
=
g
^
{\displaystyle FT[g]={\hat {g}}}
und
F
T
−
1
[
g
^
]
=
g
{\displaystyle FT^{-1}[{\hat {g}}]=g}
.
Bei symmetrischer Verteilung gilt
f
(
t
)
=
1
2
π
∫
−
∞
∞
f
^
(
ω
)
e
i
ω
t
d
t
=
1
2
π
∫
−
∞
∞
g
(
ω
)
e
i
ω
t
d
t
=
1
2
π
∫
∞
−
∞
g
(
ω
)
e
−
i
ω
t
(
−
d
t
)
=
1
2
π
∫
−
∞
∞
g
(
ω
)
e
−
i
ω
t
d
t
=
g
^
(
t
)
{\displaystyle f(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\omega )e^{i\omega t}{\mbox{d}}t={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }g(\omega )e^{i\omega t}{\mbox{d}}t={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\infty }^{-\infty }g(\omega )e^{-i\omega t}(-{\mbox{d}}t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }g(\omega )e^{-i\omega t}{\mbox{d}}t={\hat {g}}(t)}
.
Bei asymmetrischer Verteilung gilt:
f
(
t
)
=
1
2
π
∫
−
∞
∞
f
^
(
ω
)
e
i
ω
t
d
t
=
1
2
π
∫
−
∞
∞
g
(
ω
)
e
i
ω
t
d
t
=
1
2
π
∫
∞
−
∞
g
(
ω
)
e
−
i
ω
t
(
−
d
t
)
=
1
2
π
∫
−
∞
∞
g
(
ω
)
e
−
i
ω
t
d
t
=
1
2
π
g
^
(
t
)
{\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\omega )e^{i\omega t}{\mbox{d}}t={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }g(\omega )e^{i\omega t}{\mbox{d}}t={\frac {1}{2\pi }}\int _{\infty }^{-\infty }g(\omega )e^{-i\omega t}(-{\mbox{d}}t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }g(\omega )e^{-i\omega t}{\mbox{d}}t={\frac {1}{2\pi }}{\hat {g}}(t)}
Dies führt zu
|
|
g
|
|
2
=
|
|
g
^
|
|
2
{\displaystyle ||g||^{2}=||{\hat {g}}||^{2}}
bei symmetrischer Verteilung
Dies führt zu
|
|
g
|
|
2
=
1
2
π
|
|
g
^
|
|
2
{\displaystyle ||g||^{2}={\frac {1}{2\pi }}||{\hat {g}}||^{2}}
bei asymmetrischer Verteilung