Benutzer:Wehrle

Wehrle,Hugo ist mein Name, seines Zeichens Mathematiker!

Ich habe eine Homepage: www.Wehrle-Formeln.net

Gleich eine Kostprobe:

Die Fläche des Fußpunktdreiecks lässt sich aus der Fläche des Ausgangsdreiecks A berechnen zu

A(Fuß) = A r(Fuß) / R

Jedoch bereitet es Schwierigkeiten, die Seiten des Fußpunktdreiecks zu berechnen. Damit ist aber auch der Inkreisradius des Fußpunktdreiecks rFuß nur schwer zu berechen.

Versuchen wir es daher anders über den Streckungsfaktor k der beiden ähnlichen Fußpunkt und Tangentendreiecke vermöge:

A(Fuss) = k A

oder gleich über das zum Fußpunkt Dreieck ähnlichen Tangentendreieck

  A(Fusspunktdreieck) =  k-quadrat A(Tangentendreieck) 

- ~ -

Die Eulergerade des Tangentendreiecks schneidet die Eulergerade des Ausgangsdreiecks im Mittelpunkt des Umkreises des Tangentendreiecks. Das Feuerbachkreiszentrum MuFuß ist der Schnittpunkt der Eulergerade mit derjenigen des Höhenfußpunktdreiecks und liegt genau in der Mitte von HMu. Sein Radius r(Feuer) = R(Fuss) = ½R = ½r(Tan) Das Ähnlichkeits-Symmetrie-Zentrum Z liegt auch auf der Eulergeraden von ABC mit dem Sinuswehrle (siehe www.Wehrle-Formeln.net ) als Streckungsfaktor k

k = ai (Fuß) : ai (Tan) =

=√ (A(Fuss) : A(Tan)) = 
 = R: (2R(Tan)) = r(Fuss) : R      

= A/A(Tan) = A(Fuss)/A

d.h. die Dreiecksfläche A ist das geometrische Mittel von AT und AF

                        A = √( A(Tan) A(Fuss) )

Es folgt schließlich 
                      A(Fuss) =  k A 

Im einem Beispiel des rechtwinkligen Tangentendreiecks mit den Seiten 3, 4, 5 ist k=1/5 und A=1/5x6=1,2 und somit A(Fuss)= k A = 1/5x1,2=2,4/10= 0,24 (= 1/25 A(Tan)=24/100) oder A(Fuss) = A r(Fuß) / R = 1,2 x 1/5 :1 = 0,24

Für rechtwinklige Tangenten– bzw. Höhenfußpunkt-Dreiecke ist der Umkreisradius R=rTan gerade die Hypotenusenlänge des Fußpunktdeiecks:

                                       r(Tan) = c(Fuss)

und der Streckungsfaktor k wird zum Verhältnis des Inkreisradius zur Hypotenuse ist

                             k = r(Tan) : c(Tan)                     

Die Fläche seines immer spitzwinkligen Berührpunktedreiecks ist

A = ¼(a(Tan)+b(Tan)–c(Tan)) a(Tan)b(Tan) / c(Tan)

Die Summe seiner Seitenquadrate ist das k+2-fache des Quadrats der Hypotenusendifferenz 2rTan

Σ Seitenquadrate = (a(Tan)+b(Tan)–c(Tan))hoch2 mal (k+2)

Beispiel 3, 4, 5: Die Hypotenusen des Tangentendreiecks und des ähnlichen Höhenfußpunktdreiecks verhalten sich wie 5 : 1 = c(Tan) : r(Tan) Die Fläche des Tangentendreiecks ist ½x4x3=6 und die des Höhenfußpunktdreiecks ist ½x0,8x0,6=0,24=6/25. Daher ist das geometrische Mittel A=√(6x6/25)=1,2

Gegenprobe: Die Berührpunkte sind (1, 0), (0, 1) und (1,6; 1,8) Die Seitenlängen sind √2, √(0,6+1,8)=√3,6=0,6√10 und √(1,6+0,8)=√3,2=0,8√5 (Das Produkt der Seiten ist übrigens rational: abc = 4,8=10 aFussbFusscFuss) die Quadrate sind also 2, 3,2 und 3,6 und ihre Summe ist 2+3,2+3,6=8,8 oder auch ΣSeitenquadrate = (2R)hoch2 (k+2) = 4x11/5=8,8 (mit k=r(Tan)/c(Tan)=1/5 und R=r(Tan) =1) Daraus ergibt sich für die vierfache Fläche mit

(∑Seitenquadrat)hoch2 =8,8hoch2 =77,44

2∑ Seiten hoch4=2x27,2=54,4 4A= √[(∑ai)-2∑ai] = √23,04 = 4,8 q.e.d.

Zusatz:

Die Seitenlängen des Fußpunktdreiecks bezüglich einem Punkt P (in unserem Fall ist P der Höhenschnittpunkt H) sind aiFuss =ai |AiP| / (2R), wobei ai die Dreiecksseiten und AiP die Entfernungen der Dreiecksgegenecke zum Punkt P (in unserem Fall zum Höhenschnittpunkt H) ist . Beispiel aFuss =a|AH|/(2R) =0,6√10 x |AH|:2 woraus sich |AH| = 3/5 x 2 :( 0,6√10) = 2:√10 = 0,2 √10 ergibt für b=0,8√5 wird 4/5=0,8√5|BH|:2 |BH|=2/5√5 = 0,4 √5 für c=√2 also ciFuss = ½√2|CH| oder |CH|= ciFuss √2 = √2

A