Benutzer:Zygentoma/Haag-Kastler-Axiome

Die Haag-Kastler-Axiome oder Araki-Haag-Kastler-Axiome, benannt nach Huzihiro Araki, Rudolf Haag und Daniel Kastler, sind ein axiomatisches System in der algebraischen Quantenfeldtheorie.

Die Axiome

Der Raumzeit-Doppelkegel ${\mathcal {D}}$ der durch die Punkte $x_{1}$ und $x_{2}$ in der Raumzeit gegeben ist, und sein kausales Komplement ${\mathcal {D}}'$. Die Operatoren in ${\mathfrak {A}}({\mathcal {D}})$ wirken nur innerhalb von ${\mathcal {D}}$ und kommutieren mit allen Operatoren in ${\mathfrak {A}}({\mathcal {D}}')$

Die Axiome gelten für C*-Algebren ${\mathfrak {A}}({\mathcal {D}})$ mit $\bigcup {\mathfrak {A}}({\mathcal {O}})$ ist eine normierte *-Algebra.

Die Axiome sind:

1. Existenz von Algebren

   Jeder offenen Raumzeitumgebung ${\mathcal {O}}$ wird eine C*-Algebra ${\mathfrak {A}}({\mathcal {O}})$ zugeordnet

2. Isotonie

   Für ${\mathcal {O}}_{1}\subset {\mathcal {O}}_{2}$ gilt ${\mathfrak {A}}({\mathcal {O}}_{1})\subset {\mathfrak {A}}({\mathcal {O}}_{2})$.

3. Lokale Kommutativität

   Für ${\mathcal {O}}_{1}$ und ${\mathcal {O}}_{2}$ räumlich getrennt kommutieren die Algebren ${\mathfrak {A}}({\mathcal {O}}_{1})$ und ${\mathfrak {A}}({\mathcal {O}}_{1})$.

4. Lorentz-Kovarianz

   Es gibt für jede Lorenztransformation $L$ einen Automorphismus ${\mathfrak {A}}\rightarrow {\mathfrak {A}},A\mapsto A^{L}$ so dass ${\mathfrak {A}}({\mathcal {O}})^{L}={\mathfrak {A}}(L{\mathcal {O}})$.

Man definiert ${\mathfrak {A}}={\overline {\bigcup {\mathfrak {A}}({\mathcal {O}})}}$, die Algebra der quasilokalen Observablen.

Die Axiome schaffen eine Zuordnung der C*-Algebren zu Raumzeitbereichen. Dies kann so interpretiert werden, dass die Operatoren dieser Algebren nur auf die entsprechenden Raumzeitbereiche (nicht-trivial) wirken.

Weiterführendes

Haag-Kastler axioms in nLab (Englisch): https://ncatlab.org/nlab/show/Haag-Kastler+axioms

Einzelnachweise

Kategorie:Physik