Bessel-Filter

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Ein Bessel-Filter ist ein Frequenzfilter, bei dessen Entwurf folgende (äquivalente) Eigenschaften angestrebt werden:

  • optimales „Rechteckübertragungsverhalten“, d. h. eine Wellenform, deren Frequenzanteile innerhalb des Durchlassbereichs des Filters liegen, erscheint (bis auf eine Verzögerung) unverändert am Ausgang;
  • konstante Gruppenlaufzeit im Durchlassbereich;
  • linearer Phasengang im Durchlassbereich.

Dabei wird in Kauf genommen, dass der Amplitudenverlauf nicht so scharf wie beim Butterworth-Filter oder Tschebyscheff-Filter abknickt.

Das Filter wurde 1949 von W.E. Thomson als – hinsichtlich der Gruppenlaufzeit – optimales passives Verzögerungsnetzwerk entwickelt und nach dem deutschen Mathematiker Friedrich Wilhelm Bessel (1784–1846) benannt.

In der digitalen Signalverarbeitung können Bessel-Filter durch Wahl entsprechender Filterkoeffizienten in IIR-Filtern (rekursive Filterstruktur) realisiert werden.

Übertragungsfunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Anmerkung:Die Eckfrequenz des Butterworth-Filters und der Tiefpasskaskade wurde dem Bessel-Filter angeglichen

Die Übertragungsfunktion ist darauf optimiert, die Gruppenlaufzeit von der Frequenz unabhängig zu machen.

Mit der Übertragungsfunktion für ein Filter n-ter Ordnung

mit

Gleichspannungsverstärkung
und Grenzfrequenz

lässt sich für die Koeffizienten die Rekursionsformel

i = 1:
i = 2 … n:

ermitteln.

Die Koeffizienten sind allerdings nicht auf die Grenzfrequenz normiert, sondern auf die Gruppenlaufzeit, d.h. bei ist die Amplitude nicht um 3 dB abgesunken.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Bessel-Filter besitzt folgende Eigenschaften:

  • glatter Frequenzverlauf im Durchlassbereich
  • geringe Steilheit des Amplitudengangs (geringer als beim Butterworth-Filter) im Bereich der Grenzfrequenz
  • geringes Überschwingen bei der Sprungantwort, verringert sich mit der Ordnung
  • konstante Gruppenlaufzeit im Durchlassbereich

Normalisierte Bessel-Polynome[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

n Bessel-Polynom
1
2
3
4
5

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]