Breguet’sche Reichweitenformel

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Mit der Breguet'sche Reichweitenformel, benannt nach Louis Charles Breguet, kann die Reichweite von motorisierten Flugzeugen berechnet werden. Dabei bezieht sich die ursprüngliche Breguet'sche Formel auf Flugzeuge mit Propellerantrieb (Kolbenmotoren und Propellerturbinen mit geringem Restschub), die aber mit entsprechender Modifikation auch auf Flugzeuge mit Strahltriebwerken angewendet werden kann. Der errechnete Reichweitenwert ist nur exakt für konstante Flugzeugmasse, konstante Fluggeschwindigkeit (bei Strahltriebwerken), konstante Leistung (bei Kolbentriebwerken) und konstante Flughöhe.

Definition[Bearbeiten]

Die Breguet’sche Reichweitenformel gibt die Reichweite für propellergetriebene Flugzeuge[1][2][3] an, gemäß

R = \frac{\eta_P}{ b_P\cdot \epsilon \cdot g} \cdot \ln \left(\frac{m_0}{m_0 - m_t}\right)

Dabei sind: R = Reichweite; \eta_P - Propellerwirkungsgrad; b_P - leistungsspezifischer Brennstoffverbrauch; \epsilon = Gleitzahl; m0 = Flugzeugmasse am Startpunkt der Berechnung; mt = verbrauchte Treibstoffmenge während des Reiseflugsegments. Es ist auf konsistente Einheiten zu achten, da der spezifische Kraftstoffverbrauch oft in unterschiedlichen Einheiten angegeben wird. Für Turboproptriebwerke mit geringem Restschub kann diese Formel ebenfalls verwendet werden.

Passt man die Breguet’sche Formel entsprechend an (siehe Herleitung), dann kann man mit ihr auch die Reichweite für Flugzeuge mit Strahlantrieb[1][2][3] berechnen:

R = \frac{V}{ b_F\cdot \epsilon \cdot g}\cdot \ln \left(\frac{m_0}{m_0 - m_t }\right)

Dabei sind: R = Reichweite; V = Fluggeschwindigkeit; b_F - schubspezifischer Brennstoffverbrauch (Strahltriebwerk); \epsilon = Gleitzahl; m0 = Flugzeugmasse am Startpunkt der Berechnung; mt = verbrauchte Treibstoffmenge während des Reiseflugsegments. Es ist auf konsistente Einheiten zu achten, da der spezifische Kraftstoffverbrauch oft in unterschiedlichen Einheiten angegeben wird.

Für Flüge im schallnahen Bereich (Ma>0,7) ist die Fluggeschwindigkeit v entsprechend v = Ma·a zu korrigieren, wobei Ma die Machzahl und a die Schallgeschwindigkeit in der Flughöhe ist. Bei einer Veränderung von einem oder mehreren Flugparametern während des Reisefluges stellt die Breguet'sche Formel lediglich eine mehr oder weniger genaue Näherung dar.

Abhilfe schafft in solchen Fällen eine Aufteilung des Reisefluges in mehrere Segmente, wobei die Genauigkeit des berechneten Reichweitenwertes mit der Segmentanzahl gesteigert werden kann. Es sei außerdem darauf hingewiesen, dass für die maximale Reichweite unterschiedliche Gleitzahlen für Propellerflugzeuge und Turboluftstrahlflugzeuge verwendet werden müssen.

Herleitung[Bearbeiten]

Die Breguet’sche Reichweitenformel mit Propellerantrieb geht vom leistungsspezifischen Brennstoffverbrauch (Spezifischer Kraftstoffverbrauch) aus:

b_P = \frac{\dot m_B} {P} = \frac{\dot m_B} {F\cdot V}

P - Vortriebsleistung [kW]; F - Schub [N]; b_P - leistungsspezifischer Brennstoffverbrauch [kg/kW·h]; V - Fluggeschwindigkeit [km/h]

Dabei ist

\dot m_B = \frac{dm_B}{dt}

der Brennstoffmassenstrom [kg/h] und t die Flugzeit.

Die Geschwindigkeit lässt sich als das Verhältnis der zurückgelegten Strecke (s - Strecke [km]) und der hierfür benötigten Zeit schreiben:

V = \frac{ds}{dt}

Für die Massenabnahme im Horizontalflug gilt damit:

dm = -b_P\cdot F\cdot V\cdot dt

Damit kürzt sich dt heraus und das Streckendifferential beträgt:

ds = \frac{1}{ -b_P\cdot F} dm

Mit der Bedingung des horizontalen Fluges besteht ein Kräftegleichgewicht zwischen:

Auftrieb A und Gewicht G=m \cdot g in vertikaler Richtung und analog dazu in horizontaler Richtung zwischen:

Schub F und Widerstand W.

Daraus folgt, dass das Verhältnis von Widerstand zu Auftrieb betragsgleich zum Verhältnis von Schub zu Gewicht ist:

\frac{W}{A}= \epsilon=\frac{F}{G} \to F=\epsilon \cdot m \cdot g

mit \epsilon - Gleitzahl [-] und g = Fallbeschleunigung [m/s²]

Damit lässt sich der Schub im Streckendifferential ersetzen zu:

ds = \frac{1}{ -b_P\cdot \epsilon \cdot m \cdot g} dm

Durch Integration von Startmasse m_{Start} bis zur Masse am Ende der Betrachtung m_{Ende}:

ds = \int_{m_{Start}}^{m_{Ende}} \frac{1}{ -b_P\cdot \epsilon \cdot m \cdot g} \, \mathrm dm,

erhält man die Breguet’sche Reichweitenformel mit (idealem) Propellerantrieb:

R = \frac{1}{ b_P\cdot \epsilon \cdot g} \ln\left({\frac{m_{Start}}{m_{Ende}}}\right)

Da der Propeller je nach Auslegung und Betriebszustand unterschiedlich effizient funktioniert, lässt sich ebenfalls sein Wirkungsgrad \eta_P berücksichtigen:

P=\eta_P \cdot P^*

mit P^* - Triebwerksleistung [kW]; \eta_P - Propellerwirkungsgrad [-]

Daraus ergibt sich die Breguet’sche Reichweitenformel mit Propellerantrieb zu:

R = \frac{\eta_P}{ b_P\cdot \epsilon \cdot g} \ln\left({\frac{m_{Start}}{m_{Ende}}}\right)

Die Breguet’sche Reichweitenformel mit Strahlantrieb geht vom schubspezifischen Brennstoffverbrauch aus:

b_F = \frac{\dot m_B} {F}

F - Schub [N]; b_F - schubspezifischer Brennstoffverbrauch [kg/N·s]; V - Fluggeschwindigkeit [m/s]

Das weitere Vorgehen ist analog und man erhält dadurch die Breguet’sche Reichweitenformel mit Strahlantrieb:

R = \frac{V}{ b_F\cdot \epsilon \cdot g} \ln\left({\frac{m_{Start}}{m_{Ende}}}\right)

Bei dieser Reichweitenbestimmung ist also vom Einhalten der konstanten Geschwindigkeit und konstantem Auftriebsbeiwert auszugehen, was zwangsläufig zur Reduzierung der Dichte durch Höhengewinn im verlaufe des Fluges (durch Reduzierung des Fluggewichtes) führen müsste.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. a b  Egbert Torenbeek: Synthesis of Subsonic Airplane Design. Kluwer Academic, Dordrecht 1982, ISBN 90-247-2724-3.
  2. a b  Daniel P. Raymer: Aircraft Design: A Conceptual Approach. AIAA Education Series, Washington D.C. 1992, ISBN 0-930403-51-7.
  3. a b  Jan Roskam: Preliminary Configuration Design and Integration of the Propulsion System (= Airplane Design. Part II). Roskam Aviation, Ottawa 1985.