English: Ordering in the sense of David Hilbert IS possible for an affine line g. Two points H_1 and H_2
on the line g divide the line (provided the field of affine coordinates allows for an ordering)
in 3 parts.
The "inner" part g_1 is an affine invariant: Every affine collineation, which maps the set {G_1, G_2} on itself, maps g_1 onto itself.
On an affine circle (or equivalently on a projective line) two points H_1 and H_2 divide the
circle/projective line h in 2 parts h_1, h_2. A projective collineation of the plane containing h, which maps the set {H_1, H_2} on itself maps CAN exchange h_1 with h_2.
Deutsch: Auf einer affinen Geraden g ist eine Hilbertsche Zwischenbeziehung
definierbar, wenn der Koordinatenbereich sich anordnen lässt. Jede Afiinität, die die (ungeordnete) Paarmenge {H_1, H_2} auf sich selbst abbildet, bildet auch die "Strecke" g_1 (=Menge der Zwischenpunkte von {H_1, H_2}) auf sich selbst ab. Dagegen können die "Halbgeraden" g_2, g_3 auch vertauscht werden. - Auf einer projektiven Geraden ist die Situation anders. Hier ist die Gerade unten im Bild als "affines" Geradenbüschel der Geraden durch M (+Fernpunkt) dargestellt, wobei jede Gerade durch einen Punkt auf dem Kreis repräsentiert wird. Der affine Kreis h wird durch zwei Punkte H_1, H_2 in ZWEI Kreisbögen h_1, h_2 aufgeteilt. Affinitäten der Ebene, die {H_1, H_2} auf sich abbilden, bilden auch die zwei Bögen je auf sich ab, es sei denn, H_1, H_2 liegen auf dem gleichen Durchmesser, dann können h_1 und h_2 auch vertauscht werden. Dagegen existieren immer Projektivitäten, die die projektive Geradenmenge {MH_1, MH_2} auf sich abbilden, aber die Büschelgeraden durch M und einen Punkt von h_1 mit den Büschelgeraden durch M und einen Punkt von h_2 vertauschen. Projektiv gibt es keinen Unterschied zwischen "innen" und "außen".
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