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Beschreibung

BeschreibungShell-diag-1.png	A diagram illustrating the derivation of Newton's shell theorem. Shown is a thin shell with a test mass outside the shell (${\displaystyle r>R}$).
Datum	29. September 2006
Quelle	Eigenes Werk
Urheber	Jim Wisniewski

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https://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5CC BY-SA 2.5 Creative Commons Attribution-Share Alike 2.5 truetrue

Source

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% shell-diag.mp
% A diagram illustrating the derivation of Newton's shell theorem.  To be
% processed with MetaPost.

color bandshade, fillshade;
bandshade = 0.7 [blue, white];
fillshade = 0.9 white;

numeric dotsize, deg;
dotsize = 5 bp;
deg = length( fullcircle )/360;

freelabeloffset := 3/4 freelabeloffset;
labeloffset := 2 labeloffset;

def dot( expr P ) =
  fill fullcircle scaled dotsize shifted P withcolor black;
enddef;

def draw_circle( expr R, stroke ) =
  save p;
  pen p;
  p = currentpen;
  pickup p scaled stroke;
  draw fullcircle scaled 2R;
  pickup p;
enddef;

vardef anglebetween( expr a, b, rad, str ) =
  save endofa, endofb, common, curve, where;
  pair endofa, endofb, common;
  path curve;
  numeric where;
  endofa = point length( a ) of a;
  endofb = point length( b ) of b;
  if round point 0 of a = round point 0 of b:
    common = point 0 of a;
  else:
    common = a intersectionpoint b;
  fi;
  where = turningnumber( common--endofa--endofb--cycle );
  curve = (unitvector( endofa - common ){(endofa - common) rotated (90 * where)} ..
           unitvector( endofb - common )) scaled rad shifted common;
  draw thefreelabel( str, point 1/2 of curve, common ) withcolor black;
  curve
enddef;

def draw_angle( expr a, b, rad, str ) =
  begingroup
    save p;
    pen p;
    p = currentpen;
    pickup p scaled 1/2;
    draw anglebetween( a, b, rad, str );
    pickup p;
  endgroup
enddef;

def label_line( expr a, b, disp, str ) =
  begingroup
  save mid, opp;
  pair mid, opp;
  mid = 1/2 [a, b];
  opp = -disp rotated (angle( b - a ) - 90) shifted mid;
  draw thefreelabel( str, mid, opp );
  draw a -- b;
  endgroup
enddef;

def draw_thinshell( expr R, r, theta, dtheta, thetarad, phirad ) =
  begingroup
    save M, m;
    pair M, m;
    M = (0, 0);
    m = (r, 0);
    
    save circ;
    path circ;
    circ = fullcircle scaled 2R;
    
    save thetapt, dthetapt;
    pair thetapt, dthetapt;
    thetapt   = point (theta * deg) of circ;
    dthetapt  = point ((theta + dtheta) * deg) of circ;
    
    save upper, lower, band;
    path upper, lower, band;
    upper = subpath (0, 4) of circ;
    lower = subpath (4, 8) of circ;
    band = buildcycle( upper, (xpart thetapt,  R) -- (xpart thetapt,  -R),
                       lower, (xpart dthetapt, R) -- (xpart dthetapt, -R) );
    
    % draw figures
    save p;
    pen p;
    p = currentpen;
    pickup p scaled 1/2;
    fill band withcolor bandshade;
    draw band;
    pickup p;
    
    save near, far;
    pair near, far;
    if theta < 90:
      near = 3/4[ulcorner band, llcorner band];
      far  = right shifted near;
    else:
      near = 3/4[urcorner band, lrcorner band];
      far  = left shifted near;
    fi;
    draw thefreelabel( btex $dM$ etex, near, far );
    
    dot( M );
    %label.llft( btex $M$ etex, M );
    
    dot( m );
    label.lrt( btex $m$ etex, m );
    
    draw M -- thetapt;
    label_line( M, m, right, btex $r$ etex );
    label_line( m, thetapt, right, btex $s$ etex );
    if R <> r:
      label_line( M, dthetapt, left, btex $R$ etex );
    else:
      draw M -- dthetapt;
    fi;
    
    draw_angle( m -- M, m -- thetapt, phirad, btex $\phi$ etex );
    draw_angle( M -- m, M -- thetapt, thetarad, btex $\theta$ etex );
    draw_angle( M -- thetapt, M -- dthetapt, R, btex $d\theta$ etex );
  endgroup
enddef;

def draw_thickshell( expr Ra, Rb, r ) =
  begingroup
    save m;
    pair m;
    m = (r, 0);
    
    fill fullcircle scaled 2Rb withcolor fillshade;
    fill fullcircle scaled 2r  withcolor bandshade;
    unfill fullcircle scaled 2Ra;

    dot( origin );
    dot( m );
    label.lrt( btex $m$ etex, m );
    label_line( origin, m, right, btex $r$ etex );
    
    draw_circle( Rb, 2 );
    if Ra > 0:
      draw_circle( Ra, 2 );
      label_line( origin, dir( 100 ) scaled Rb, left,  btex $R_b$ etex );
      label_line( origin, dir( 80 )  scaled Ra, right, btex $R_a$ etex );
    else:
      label_line( origin, dir( 90 )  scaled Rb, left,  btex $R_b$ etex );
    fi;
  endgroup
enddef;

% Thin shell, r > R
beginfig(1)
  numeric R;
  R = 1 in;
  draw_thinshell( R, 3R, 50, 15, 1/4 in, 3/4 in );
  draw_circle( R, 2 );
endfig;

% Thin shell, r < R
beginfig(2)
  numeric R;
  R = 1 in;
  draw_thinshell( R, 0.7R, 125, 15, 1/8 in, 1/3 in );
  draw_circle( R, 2 );
endfig;

% Thick shell
beginfig(3)
  numeric Ra, Rb, r;
  Ra = 0.8 in;
  Rb = 1.3 in;
  r = 1 in;

  draw_thickshell( Ra, Rb, r );
endfig;

% Solid sphere
beginfig(4)
  numeric Ra, Rb, r;
  Ra = 0;
  Rb = 1.3 in;
  r = 1 in;
  
  draw_thickshell( Ra, Rb, r );
endfig;

end