De-morgansche Gesetze

De-morgansches Gesetz mit Logikgattern dargestellt

Die de-morganschen Gesetze (oft auch de-morgansche Regeln) sind zwei grundlegende Regeln für logische Aussagen. Sie wurden nach dem Mathematiker Augustus De Morgan benannt, obwohl sie bereits dem mittelalterlichen Logiker Wilhelm von Ockham bekannt waren. Sie gelten in allen Booleschen Algebren. Insbesondere sind sie in der Aussagenlogik und der Mengenlehre bedeutsam. In der Technik sind sie bedeutsam für die Erstellung von Verriegelungen und Programmen.

Gesetze

Sie lauten in der Logik:

nicht (a und b) ist äquivalent zu ((nicht a) oder (nicht b)), sowie

nicht (a oder b) ist äquivalent zu ((nicht a) und (nicht b)).

In der Mathematik findet man zahlreiche unterschiedliche Darstellungen der de-morganschen Gesetze der Aussagenlogik:

${\begin{matrix}\neg {(a\wedge b)}\iff \neg {a}\vee \neg {b}\\\neg {(a\vee b)}\iff \neg {a}\wedge \neg {b}\end{matrix}}$ bzw. mit anderer Notation: ${\begin{matrix}{\overline {(a\wedge b)}}\iff {\overline {a}}\vee {\overline {b}}\\{\overline {(a\vee b)}}\iff {\overline {a}}\wedge {\overline {b}}\;.\end{matrix}}$

Ihre Entsprechung in der Mengenlehre lautet (dabei sind A das Komplement von A, $\cap$ das Symbol für den Schnitt zweier Mengen und $\cup$ das Symbol für die Vereinigung zweier Mengen):

${\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}$

${\overline {A\cup B}}={\overline {A}}\cap {\overline {B}}\;.$

Die Regeln lassen sich auch für Verknüpfungen beliebig vieler Elemente erweitern. So gilt für jede beliebige endliche, abzählbare oder auch nicht abzählbare Indexmenge I:

${\overline {\bigcap _{i\in I}A_{i}}}=\bigcup _{i\in I}{\overline {A_{i}}}$ und ${\overline {\bigcup _{i\in I}A_{i}}}=\bigcap _{i\in I}{\overline {A_{i}}}$.

Beweis

Ein formaler Beweis des de-morganschen Gesetzes ¬(a ∧ b) ⇔ ¬a ∨ ¬b im Fitch-Kalkül könnte etwa wie folgt aussehen:

(1) ¬(a ∧ b) [Prämisse] (2) ¬(¬a ∨ ¬b) [Annahme des Gegenteils des Ziels; beginnt einen Unterbeweis] (3) ¬a [Unterannahme, beginnt einen Unter-Unterbeweis] (4) ¬a ∨ ¬b [Disjunktionseinführung aus Zeile 3] (5) ⊥ [Widerspruch zwischen Zeilen 2 und 4] (6) ¬¬a [Negationseinführung aus Zeilen 3–5, beendet den ersten Unter-Unterbeweis] (7) ¬b [Unterannahme, beginnt einen zweiten Unter-Unterbeweis] (8) ¬a ∨ ¬b [Disjunktionseinführung aus Zeile 7] (9) ⊥ [Widerspruch zwischen Zeilen 2 und 8] (10) ¬¬b [Negationseinführung aus Zeilen 7–9, beendet den zweiten Unter-Unterbeweis] (11) a [Unterannahme, beginnt einen dritten Unter-Unterbeweis] (12) b [Unterannahme, beginnt einen Unter-Unter-Unterbeweis] (13) a ∧ b [Konjunktionseinführung aus Zeilen 11 und 12] (14) ⊥ [Widerspruch zwischen Zeilen 1 und 13] (15) ¬b [Negationseinführung aus Zeilen 12–14, beendet den Unter-Unter-Unterbeweis] (16) ⊥ [Widerspruch zwischen Zeilen 10 und 15] (17) ¬a [Negationseinführung aus Zeilen 11–16, beendet den dritten Unter-Unterbeweis] (18) ⊥ [Widerspruch zwischen Zeilen 6 und 17] (19) ¬¬(¬a ∨ ¬b) [Negationseinführung aus Zeilen 2–18, beendet den Unterbeweis] (20) ¬a ∨ ¬b [Negationsbeseitigung aus Zeile 13; Beweis abgeschlossen]

Damit ist bewiesen, dass ¬(a ∧ b) → ¬a ∨ ¬b. Für den vollständigen Beweis des Gesetzes muss auch die Implikation in umgekehrter Richtung bewiesen werden:

(1) ¬a ∨ ¬b [Prämisse] (2) a ∧ b [Annahme des Gegenteils des Ziels; beginnt einen Unterbeweis] (3) ¬a [Unterannahme; beginnt einen Unter-Unterbeweis] (4) a [Konjunktionsbeseitigung aus Zeile 2] (5) ⊥ [Widerspruch zwischen Zeilen 3 und 4, beendet den ersten Unter-Unterbeweis] (6) ¬b [Unterannahme, beginnt einen zweiten Unter-Unterbeweis] (7) b [Konjunktionsbeseitigung aus Zeile 2] (8) ⊥ [Widerspruch zwischen Zeilen 6 und 7, beendet den zweiten Unter-Unterbeweis] (9) ⊥ [Disjunktionsbeseitigung aus Zeilen 1, 3–5 und 6–8, beendet den Unterbeweis] (10) ¬(a ∧ b) [Negationseinführung aus Zeilen 2–9, _Beweis abgeschlossen]

Somit ist auch ¬a ∨ ¬b → ¬(a ∧ b) bewiesen. Da die Implikation nun in beiden Richtungen gezeigt ist, ist damit auch die logische Äquivalenz ¬(a ∧ b) ⇔ ¬a ∨ ¬b bewiesen. Mit ähnlichen Mitteln lässt sich auch das andere de-morgansche Gesetz, ¬(a ∨ b) ⇔ ¬a ∧ ¬b, zeigen.

Wahlweise kann der Beweis aber auch auf anderen Wegen, etwa mit Wahrheitstabellen, geführt werden.

Folgerungen

Eine Konjunktion (UND-Verknüpfung) lässt sich mithilfe des de-morganschen Gesetzes durch drei Negationen und einer Disjunktion (NICHT- beziehungsweise ODER-Verknüpfungen) darstellen:

$a\wedge b\iff \neg (\neg {a}\vee \neg {b})\;.$

Entsprechend lässt sich eine Disjunktion durch drei Negationen und eine Konjunktion darstellen:

$a\vee b\iff \neg (\neg {a}\wedge \neg {b})\;.$

Anwendung

Die de-morganschen Gesetze haben wichtige Anwendungen in der diskreten Mathematik, der Elektrotechnik, der Physik und der Informatik. Insbesondere werden die de-morganschen Gesetze beim Entwurf von digitalen Schaltungen genutzt, um die Typen der verwendeten logischen Schaltelemente gegeneinander auszutauschen oder Bauteile einzusparen.

Beispiele

Beispiel aus dem Alltag

Angenommen, eine Person trinkt gerne Kaffee: Um nun auszudrücken, dass sie diesen immer nur schwarz und ohne Zucker trinkt, kann sie folgende Aussagen formulieren:

Wenn Milch oder Zucker enthalten ist, dann trinke ich den Kaffee nicht.

Umgewandelt nach de Morgan und Kontraposition:

Wenn ich den Kaffee trinke, dann ist keine Milch und kein Zucker enthalten.

Beide Aussagen sind wertgleich.

Beispiel in der Mengenlehre

Es soll anhand der Beziehung

${\overline {A}}\cup {\overline {B}}={\overline {A\cap B}}$

die Gültigkeit der de-morganschen Regeln illustriert werden. Es sind zwei Mengen A und B gegeben, die Teilmengen einer Obermenge Ω sind. Die Grafik 1 zeigt die Lage der Mengen und ihrer Gegenmengen A und B.

In der Grafik 2 wird gezeigt, wie ${\overline {A}}\cup {\overline {B}}$ gebildet wird. In der Grafik 3 wird das Komplement zu $A\cap B$ dargestellt, und man sieht, dass beide Mengen gleich sind.

Aufteilung der Obermenge in A und B	${\overline {A}}\cup {\overline {B}}$	${\overline {A\cap B}}$

Eine Interpretation wäre:
In einer Abnahmeprüfung werden hochwertige Kochmesser daraufhin überprüft, ob die Schneide fehlerfrei ist (Menge A) und ob die Schneide ordnungsgemäß im Griff verankert ist (Menge B). Ein Messer wird nicht angenommen, wenn es zur Menge A oder zur Menge B oder zu beiden gehört, also wenn mindestens eine Beanstandung vorliegt: ${\overline {A}}\cup {\overline {B}}$. Das Messer wird angenommen, wenn es beide Anforderungen erfüllt, wenn es also zur Menge $A\cap B$ gehört, das heißt, es wird nicht angenommen, wenn es zu ${\overline {A\cap B}}$ gehört.

Siehe auch

• Formelsammlung Logik
• T-Norm und T-Conorm: De-Morgan-Triplett

Weblinks

• Beweis für die Mengenlehre über beliebige Indexmengen (englisch)
• Einführung und Schaltungsbeispiele zu den de-morganschen Gesetzen