Differentiationsklasse

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Die Differentiationsklasse[1] ist ein Begriff aus der Mathematik, insbesondere aus dem Teilgebiet der Analysis. Sie ist ein Funktionenraum und umfasst alle Funktionen, die mindestens -mal stetig differenzierbar sind, wobei eine natürliche Zahl ist. Notiert wird die Differentiationsklasse meist mittels .

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Zahl und eine nichtleere, offene Teilmenge der reellen Zahlen. Eine stetige Funktion gehört dann zur Differentiationsklasse beziehungsweise genauer , wenn auf ganz mindestens -mal stetig differenzierbar ist.[2]

Entsprechend der Definition wird mit die Klasse der stetigen Funktionen und mit die Differentiationsklasse der beliebig oft differenzierbaren Funktionen bezeichnet.[2]

Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Klasse der analytischen Funktionen wird manchmal in Analogie zu obiger Definition mit bezeichnet.

Für stetige Funktionen im mehrdimensionalen euklidischen Vektorraum wird die Definition analog übernommen. Die Funktion gehört also zur Differentiationsklasse , wenn sie auf ganz mindestens -mal stetig differenzierbar ist.[3][4]

Wenn sich die Anzahl der möglichen Differentiationen () bei mehrdimensionalen Funktionen zwischen den einzelnen Variablen unterscheidet, so kann dem in einer Verallgemeinerung der obigen Notation Rechnung getragen werden: [5]

Auch für Funktionen zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten werden die -Differentiationsklassen analog definiert.

Teilmengenrelation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine offene Teilmenge, dann gilt

.

Je höher also der Index der Differentiationsklasse ist, desto weniger Funktionen umfasst sie.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Exponentialfunktion ist analytisch und gehört somit zur Klasse .
  • Die Betragsfunktion ist stetig, aber nicht differenzierbar. Sie gehört also zur Klasse , aber nicht zur Klasse .
  • Die Funktion , ist zweimal stetig differenzierbar, aber nicht dreimal. Es gilt also .
  • Die Funktion mit für und ist beliebig oft differenzierbar und gehört somit zur Klasse , aber sie ist nicht analytisch.
  • Die Funktion mit für und ist überall differenzierbar, aber die Ableitungsfunktion ist an der Stelle Null nicht stetig. Somit gehört die Funktion nicht zur Klasse , sondern nur zur Klasse .

Genügend glatt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Zusammenhang mit der Differenzierbarkeit wird manchmal davon gesprochen, dass eine Funktion genügend glatt sei. Dies bedeutet, dass im jeweiligen Kontext genügend oft differenzierbar ist, man sich also sozusagen keine zusätzlichen Gedanken um die Differenzierbarkeit machen muss.[6] Der Begriff leitet sich aus der Bezeichnung glatte Funktion für eine beliebig oft differenzierbare Funktion ab.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Rolf Walter: Einführung in die Analysis. Band 3. Walter de Gruyter, Berlin u. a. 2009, ISBN 978-3-11-020960-0, S. 59, 147ff.
  2. a b Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer-Verlag, Berlin u. a., 2004, ISBN 3-540-41282-4, S. 155.
  3. Konrad Königsberger: Analysis 2. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8, S. 62.
  4. Rolf Walter: Einführung in die Analysis 2. de Gruyter, 2007, ISBN 978-3-11-019540-8, S. 64, 448.
  5. Prof. Martin Keller-Ressel: Stochastische Analysis. In: TU Dresden, Fakultät Mathematik. 23. Mai 2015, S. 46, abgerufen am 9. Januar 2020.
  6. Dirk Langemann, Cordula Reisch: So einfach ist Mathematik – Partielle Differenzialgleichungen für Anwender. 1. Auflage. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2018, ISBN 978-3-662-57501-7, S. 101.