Diskussion:Axiomensystem

Baustelle?

Der Artikel sieht unfertig aus. Außerdem tauchen zwei Beispiele mit Bezug auf die Mengenlehre auf.

Vor allem aber ist es das erste Mal, dass ich ein Axiomensystem als mathematischen Raum bezeichnet sehe. Hat jemand dazu Quellen?

Ich setze einen Hinweis auf Überarbeitung. -- ZZ 15:06, 30. Aug 2006 (CEST) Das gilt immer noch. Der Hinweis muss erneut gesetzt werden.--Wilfried Neumaier 15:00, 19. Jan. 2008 (CET)

Fehlinterpretation

Der Gödelsche Unvollständigkeitssatz über die Arithmetik wird hier falsch interpretiert. Korrekt ist, das aus der Widerspruchsfreiheit die Unvollständigkeit folgt. Daraus ergibt sich per Kontraposition: Aus der Vollständigkeit folgt die Widersprüchlichkeit (!) und nicht, dass man die Widerspruchsfreiheit nicht beweisen kann.--Wilfried Neumaier 12:59, 19. Jan. 2008 (CET)

Hier wie im Folgenden finden sich Halbwahrheiten und Unwahrheiten. Zwar ist obige Bemerkung bezüglich Kontraposition richtig; der Gödelsche Satz spricht aber über rekursiv aufzälbare Axiomensysteme, die in der Lage sind, ihre eigene Widerspruchfreiheit zu formulieren und zudem in der Logik erster Stufe formuliert wurden. Für diese folgt tatsächlich aus der Vollständigkeit (mit Gödel) deren Widersprüchlichkeit. Dies gilt aber nicht allgemein. Schon der Bruch mit einer der Bedingungen sorgt für ganz andere Ergebnisse. So ist etwa die erststufige Theorie der Arithmetik ohne Plus und Mal nur mit 0, Nachfolger und Induktionsaxiom vollständig. Da sie mit den Natürlichen Zahlen ein Modell hat, ist sie auch widerspruchsfrei. Die Theorie ist sogar rekursiv aufzählbar. Sie ist aber nicht aussagekräftig genug, ihre eigene Widerspruchsfreiheit zu formulieren. Ebenso ist die folgende Theorie interessant: $T=\{\Phi \in {\mathcal {L}}_{\operatorname {PA} };\ \mathbb {N} \models \Phi \}$. Also die Menge der in den Natürlichen Zahlen gültigen Aussagen. Diese Theorie ist widerspruchsfrei (sie hat ein Modell), ist vollständig (folgt aus dem Strukturbegriff) und in erster Stufe formuliert. Sie ist aber (mit Gödel) nicht rekursiv axiomatisierbar. Dementsprechend wird hier Gödel nicht nur fehlinterpretiert, sondern es finden sich im Artikel sogar grobe Fehler. --Gazzari 21:22, 15. Sep. 2009 (CEST)

Das mit den groben Fehlern sehe ich ähnlich, man sollte es aber für Wiki so einfach wie möglich halten. Dafür wären alle Formulierungen im Hinblick auf Gödel von "muss" in "wünschenswert" zu ändern, da sich N, Vollständigkeit und Widerspruchsfreiheit bekanntermaßen nicht vereinbaren lassen. In einem Wiki-Artikel dies zu verlangen ist m.E.n. auch mit Literaturverweisen grenzkriminell. -- Kl.hh 14:20, 23. Sep. 2009 (CEST)

Unabdingbar?

Die Unabhängigkeit der Axiome wird hier als unabdingbare Bedingung ausgegeben. Damit werden alle redundanten Axiomensysteme, die in der Mathematik oft gebraucht werden, ausgeschieden, beispielweise die axiomatische Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre. Von diesem Axiomensystem weiß man auch, dass es unvollständig ist und dass die Widerspruchsfreiheit nicht beweisbar ist. Das heißt es gilt keine der drei unabdingbaren Bedingungen! Auch die Forderungen an ein Axiomensystem, dass eine Menge von Basiselementen dazu gehört, passt hier nicht; denn das würde ein mengentheoretisches Modell voraussetzen, das es wieder wegen der unbeweisbaren Widerspruchsfreiheit nicht gibt. Der ganze Artikel ist voller Mängel. Man sollte ihn so formulieren, dass er wenigstens auf die wichtigsten Axiomensysteme zutrifft.--Wilfried Neumaier 13:03, 19. Jan. 2008 (CET)

Das ist ein Irrtum ("Das heißt es gilt keine der drei unabdingbaren Bedingungen"). Wenn etwas nicht beweisbar ist, bedeutet das nicht, dass es nicht gilt. --80.129.86.110 07:09, 23. Jul. 2008 (CEST)

Aber man kann zumindest sagen "Sofern die Widerspruchsfreiheit von ZFC auf irgendeine metaphysische Weise gilt, gelten zum einen Unabhängigket und Vollständigkeit nachweislich nicht und ist die Widerspruchsfreiheit zum anderen nicht beweisbar; nur wenn ZFC widersprüchlich ist, kann man alle drei Eigenschaften nachweisen" Das macht die Forderungen nicht wirklich besser erfüllbar (geschweige denn, dass es wünschenswert wäre, dass sie erfüllt werden).--Hagman 21:25, 29. Jul. 2008 (CEST)

FOL

Ohne es zu erwähnen deutet die Forderung der Widerspruchsfreiheit darauf hin, dass mindestens die Prädikatenlogik erster Stufe zur Sprache gehört...--Hagman 21:32, 29. Jul. 2008 (CEST)

Was bedeutet: FOL?-- Gazzari 05:36, 17. Sep. 2009 (CEST)

First Order Logic. Allein um Widerspruchsfreiheit zu formulieren, brauche ich ja offenbar wenigstens $\neg$ in der Sprache der Theorie--Hagman 00:33, 20. Sep. 2009 (CEST)

Baustelle!

Ich habe einiges zum Artikel hingeschrieben. Ich habe einiges an Zitaten und Bemerkungen stehen gelassen, die ich entweder für falsch halte oder zumindest nicht verstehe. Vielleicht kann das von jemandem ausgeführt, erklärt werden. Ansonsten könnte man wohl die Redundanzen im Artikel streichen und auf einige Zitate verzichten. Ich denke nicht, dass der Artikel fertig ist, ich hoffe aber, mal eine Richtung vorgegeben zu haben.-- Gazzari 05:37, 17. Sep. 2009 (CEST)

Hm, insb. wäre beim Gödel-Abschnitt gewiss ein "Hauptartikel siehe ..." sinnig.--Hagman 00:34, 20. Sep. 2009 (CEST)

Vorschlag zur Verbesserung

Ich schlage vor, den Artikel zu kürzen: Es gibt ja bereits ein Lemma Gödelscher Unvollständigkeitssatz. Und die Begriffe Vollständigkeit, Widerspruchsfreiheit usw. werden alle doppelt angesprochen. Ausserdem sollte auf Sprache erster Stufe hingewiesen werden, da das die Standardmethode der Axiomatisierung mathematischer Theorien ist. Dann fehlt noch der Bezug zur Semantik (bzw. Modelltheorie), ohne die der Begriff Vollständigkeit schlecht erklärt werden kann. Wenn es keinen heftigen Widerstand gibt, werde ich das demnächst mal so machen. Dhanyavaada 10:36, 8. Okt. 2009 (CEST)

Beispiel Gruppentheorie

Es gibt auch gruppentheoretische Sätze, die nicht in der hier aufgeführten Gruppentheorie beweisbar (weil nicht formulierbar) sind. Etwa: "Sei $G$ eine Menge und $e\in G$. Dann gibt es eine Verknüpfung $\circ \colon G\times G\to G$, durch dir $(G,\circ ,e)$ eine Gruppe wird."--Hagman 23:44, 16. Dez. 2009 (CET)

Verständlichkeit

Für mich ist dieser Artikel leider inhaltlich fast gar nicht zu verstehen. Obwohl ich mich als Physiker gerne mit Mathematik beschäftige. Was haltet ihr davon, die Newton'schen Axiome mit hinzuzunehmen, bzw. auf sie zu verweisen?--Jmpjanny 10:27, 22. Apr. 2010 (CEST)

Plan fürs "Aufräumen"

Als ich den Artikel gelesen hatte, bin ich ziemlich erschrocken.

Wenn sich nicht begründeter Widerspruch meldet, werde ich den ganzen folgenden Teil demnächst hier löschen:

(-------------- zu löschender Teil ----------------------)

===Axiomatisches System und Gödelscher Unvollständigkeitssatz [Bearbeiten]===

Die Gödelschen Unvollständigkeitssätze von 1931 sprechen über höchstens rekursiv aufzählbar axiomatisierte Theorien, die in der Logik erster Stufe formuliert sind. Es wird ein vollständiger und korrekter Beweiskalkül vorausgesetzt. Der erste Satz sagt aus: Falls die Axiome der Arithmetik widerspruchsfrei sind, dann ist die Arithmetik unvollständig. Es gibt also mindestens einen Satz ΦG, so dass weder ΦG noch seine Negation ¬ΦG in der Arithmetik beweisbar sind. Des Weiteren lässt sich zeigen, dass jede Erweiterung der Axiome, die rekursiv aufzählbar bleibt, ebenfalls unvollständig ist. Damit ist die Unvollständigkeit der Arithmetik ein systematisches Phänomen und lässt sich nicht durch eine einfache Erweiterung der Axiome beheben. Der zweite Unvollständigkeitssatz sagt aus, dass sich insbesondere die Widerspruchsfreiheit der Arithmetik nicht im axiomatischen System der Arithmetik beweisen lässt.

Die Unvollständigkeitssätze werden in der Literatur gerne fehlinterpretiert. Dies wird im Folgenden kommentiert:

Es ist möglich, die Arithmetik vollständig zu axiomatisieren. Die Theorie T=\{\Phi\in\mathcal L_{\operatorname{PA}};\ \mathbb N\models\Phi \} ist eine vollständige, widerspruchsfreie Erweiterung der bekannten Peano-Axiome. Infolge der Unvollständigkeitssätze ist diese Theorie aber nicht rekursiv aufzählbar.

Es gibt vollständige, widerspruchsfreie, rekursiv aufzählbare Axiomensysteme, Diese können aber keine Erweiterung der Arithmetik sein; insbesondere ist es in derartigen Systemen nicht möglich, über dieses System selbst zu reden. Sie sind damit nicht so ausdrucksstark, wie die volle Arithmetik mit 0, Nachfolger, Addition und Multiplikation. Ein einfaches Beispiel für ein derartiges, schwaches System ist die Arithmetik nur mit 0 und Nachfolger.

Die Nichtbeweisbarkeit der eigenen Widerspruchsfreiheit in der Arithmetik ist keine absolute Grenze des formalen Denkens. So hat etwa Gerhard Gentzen gezeigt, dass man die Widerspruchsfreiheit der Arithmetik beweisen kann (in einem formalen System), wenn man die Möglichkeiten des Systems etwas erweitert. Damit zeigen die Unvollständigkeitssätze lediglich, dass man ein stärkeres System benötigt, um die Widerspruchsfreiheit eines schwächeren Systemes zu beweisen.

Die Voraussetzung der Widerspruchsfreiheit für die Unvollständigkeitssätze ist wesentlich. Zum einen kann sie innerhalb der Arithmetik nicht bewiesen werden; zum anderen würde aus der Inkonsistenz der Axiome sofort folgen, dass jeder Satz beweisbar wäre. Damit wäre die Arithmetik vollständig und insbesondere wäre auch der Satz, der die Widerspruchsfreiheit der Arithmetik aussagt, bewiesen.

Setzt man die Mengenlehre voraus, kann man mit den Natürlichen Zahlen \mathbb N ein Modell der Arithmetik angeben. Damit ist die Widerspruchsfreiheit der Arithmetik gezeigt. Jedoch ist die Mengenlehre ihrerseits ein axiomatisches System, das ausdrucksstärker als die Arithmetik ist. Damit ist sie selbst wieder unvollständig und sie kann wiederum ihrerseits nicht ihre eigene Konsistenz beweisen.

Hier noch einige Beispiele aus der Literatur:

Nach dem 1931 von Gödel bewiesenem Gödel-Theorem (auch: Unvollständigkeitssatz) ist es für ein mathematisches formales System „unmöglich, zugleich dessen Vollständigkeit und Widerspruchsfreiheit zu beweisen“[9]. "Kein adäquates Axiomensystem der Theorie eines unentscheidbaren Kalküls ist absolut-vollständig."[10]

Die Gödelschen Unvollständigkeitssätze "beweisen die Grenzen formalistischen Denkens und die Grenzen unseres Erkenntnisvermögens" [11] und zeigen eine „absolute Grenze“ der formalen Logik".[12]

„Die angesprochene Unvollständigkeit der Arithmetik beispielsweise bedeutet folgendes: Für jede nur denkbare Formalisierung der elementaren Arithmetik gilt, dass es in ihr Sätze gibt, die in dieser Formulierung weder beweisbar noch widerlegbar sind. Mit anderen Worten: Es gibt in jeder dieser Formalisierungen Sätze A mit der Eigenschaft, dass sich weder A noch ¬ A beweisen lässt."[12]

(-------------- Ende des zu löschenden Teils ----------------------)

Das ist zwar ziemlich schön (und soweit ich beim ersten Durchlesen festgestellt habe, auch weitgehend richtig), aber da es einen Artikel "Gödelscher Unvollständigkeitssatz" gibt, gehört das dorthin! Wenn jemand meint, dass dort wesentliche Teile fehlen, sollte er sie dort einbringen.

In jedem Fall muss man hier und auch in einem solchen Text Links an allen wichtigen Stellen einbauen (ich halte es für ein Unding, in unserem Zusammenhang z.B. "rekursiv aufzählbar" unerklärt zu lassen!).

Als nächstes sollten wir in der Diskussion klären:
kann man eine "traditionelle Sicht" von Axiomensystem ("System von grundlegenden Aussagen, die ohne Beweis angenommen ...") und "moderne Sicht von Axiomensystemen" in einem Artikel zusammen behalten oder muss sie man trennen?

Falls man zusammenhalten will: es fehlt ein Hinweis auf den grundlegenden Wandel im Verständnis von "Axiomensystem". Ich denke, ein Artikel, der auch über moderne Axiomensysteme spricht und in dem der Name Hilbert nur in einem Zusammenhang vorkommt, bei dem der "gebildete Laie" sagt: "Na und, dass hat Euklid vor 2000 Jahren auch gemacht", ist eigentlich "nicht informativ genug".

Erst als weiteren Schritt sollte man dann die verbeibenden Fehler korrigieren. (Nur ein Beispiel: "Für die Prädikatenlogiken höherer Stufen lassen sich nur widerspruchsfreie, aber nicht vollständige axiomatische Systeme entwickeln" ist schlicht falsch: Wenn eine Prädikatenlogik höherer Stufe widerspruchsfrei ist, dann verwendet man ein Modell davon und nimmt einfach alle dort geltenden Sätze der entsprechenden Sprache als "Axiome". Das ist eine "vollständige Axiomatisierung", die aber natürlich nicht rekursiv aufzähbar ist.) --Mini-floh 18:31, 23. Jan. 2012 (CET)

Nachdem sich bisher keine Reaktion einstellte, mache ich folgenden Alternativvorschlag, den ich auch in Diskussion:Gödelscher Unvollständigkeitssatz zur Diskussion gestellt habe. Ich verschiebe den Teil ab "Die Unvollständigkeitssätze werden ..." nach Gödelscher Unvollständigkeitssatz und füge hier einen entsprechenden Link ein. --Mini-floh 22:24, 10. Feb. 2012 (CET)