Diskussion:Dirichletreihe

Ich hab den Eintrag aus der englischen Wikipedia übersetzt. Wenn ein Mathematiker mit größeren Kenntnissen einen Blick auf das Ergebnis werfen würde, wäre das sicherlich von Nutzen.

Da fehlen tatsächlich einige wichtige Sachen wie die Multiplikation von Dirichletreihen, das Euler-Produkt und Funktionalgleichungen. Der Satz ist übrigens auch nicht so ganz richtig. Ich werde mich darum kümmern. --Aklippel 20:15, 15. Feb 2006 (CET)

Artikel mit zahlentheoretische Funktion anfreunden.

Ich arbeite gerade in das Lemma zahlentheoretische Funktion Links auf dieses Lemma hier ein. Meine Wünsche/Vorschläge:

• Können wir die Schreibweise der Faltung vereinheitlichen (habe in zahlentheoretische Funktion den Stern * vorgefunden und kenne es auch so aus der Literatur (Leutbechers Zahlentheorie, Brüderns Analytische ZT). Hier ist das \times-Symbol verwendet.

(Ändere das gern, wenn hier keiner was dagegen hat).

• Füge gerne auch Links zurück von hier auf zahlentheoretische Funktion ein.
• Bin kein Crack in Dirichletreihen, daher ist ein gelegentlicher Blick in den ZT-Funktion Artikel willkommen, damit wir terminologisch nicht auseinader laufen.

--KleinKlio 11:50, 23. Sep 2006 (CEST)

Beim zweiten Nachdenken: Der zweite Teil der Formel

$d(n)=\sum _{d|n}1=\sum _{d|n}1\times 1$

scheint mir sogar falsch zu sein. Es müsste

$d(n)=\sum _{d|n}1=(1*1)(n)$

heißen, da die Teilersummation schon in der Faltung mit enthalten ist. --KleinKlio 11:56, 23. Sep 2006 (CEST)

Nach sorgfältigerem Durchlesen des Artikels habe ich doch einige Ungenauigkeiten und Fehler gefunden. Die Gliederung ist auch noch nicht schön. Wenn also sonst keiner dieses Kind adoptiert, mache ich mich an eine größere Überarbeitungsaktion. --KleinKlio 16:47, 23. Sep 2006 (CEST)

Überarbeiten!

Ich habe diesen Artikel gerade auf die Liste der zu überarbeitenden Artikel gesetzt. Mein Ziel ist, eine Diskussion über diesen Artikel anzustoßen (siehe vorigen Abschnitt). Ich finde ihn gut! Es geht mir nur um die oben genannte Verlinkung. Sobald eine disku darüber in Gang gekommen ist, kann der Eintrag wieder aus der Überarbeitungsliste raus. Sollte ich also länger nicht online sein, könnt ihr das auch für mich machen, sobald hier eine disku läuft. --KleinKlio 14:46, 23. Sep 2006 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 10:51, 19. Dez. 2015 (CET)

Überarbeitung durch --KleinKlio 01:44, 24. Sep 2006 (CEST)

/*Literatur*/ überarbeitet und gecheckt:

Neue Quelle (für die folgende Überarbeitung meine Primärquelle!):

 Jörg Brüdern: Einführung in die analytische Zahlentheorie. Springer Verlag, Berlin u. a. 1995, ISBN 3-540-58821-3

Quelle entfernt:

 D. Zagier, Zetafunktionen und quadratische Körper, Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1981, ISBN 3-540-10603-0

konnte die Quelle so nicht finden. --KleinKlio 01:44, 24. Sep 2006 (CEST)

--KleinKlio 07:16, 24. Sep 2006 (CEST):Ausgelagerter Teil der alten Definition:

Gelegentlich findet man in der Literatur auch die etwas allgemeinere Definition

$f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }e^{-\lambda _{n}s},$ mit $s=\sigma +it\in \mathbb {C}$

mit $\lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \lambda _{3}...\rightarrow \infty .$

Mit $\lambda _{n}=\operatorname {log} n$ ergibt dies wieder die erste Definition, mit $\lambda _{n}=n$ erhält man

$f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }e^{-ns}=\sum _{n=1}^{\infty }z^{n}$ mit $z=e^{-s}$,

also eine gewöhnliche Potenzreihe.

Dies (Terminologie) konnte ich noch nicht nachprüfen und scheint mir für das Verständnis des Artikels unwesentlich.

--KleinKlio 07:16, 24. Sep 2006 (CEST)

--KleinKlio 07:16, 24. Sep 2006 (CEST):Ausgelagert Multiplikation: Multipliziert man zwei solche absolut konvergenten Dirichletreihen mit den Koeefizienten a(n) bzw. b(n) miteinader, so ist das Produkt wieder eine Dirichletreihe mit der Koeffizientenfolge

$c(n)=\sum _{d|n}a(d)\cdot b({\frac {n}{d}}),$

wobei die Summe über alle positiven Teiler von $n$ genommen wird. Damit berechnet sich die komplexe Zahlenfolge c(n) durch Faltung der Folge a(n) mit b(n). Diese Faltung entspricht aber genau der dem Faltungsprodukt, das für zahlentheoretische Funktionen definiert ist.

Diese Multiplikationsregel wird nun auf zwei beliebige Reihen f und g verallgemeinert, d. h. man rechnet mit beliebigen Dirichletreihen so, als ob sie absolut konvergent wären. Durch diese Festsetzung erbt der Vektorraum der formalen (nicht notwendig konvergenten) Dirichletreihen die gesamte algebraische Struktur der zahlentheoretischen Funktionen.

Änderungen:

• Alle umfangreicheren Formeln, die nichts neues definieren, habe ich rausgemacht.

• Anstelle der Folgenschreibweise a_n steht jetzt durchgängig a(n) für Koeffizienten und arithmetische Funktionen.

• Alles neu gegliedert, insbesondere Zwischenüberschriften bei den Beispielen für Dirichletreihen eingefügt.

• Das meiste rausgemacht, was im Artikel zahlentheoretische Funktion über die Faltung dieser Funktionen auch schon steht. Statdessen die Isomorphie hervorgehoben.

--KleinKlio 07:16, 24. Sep 2006 (CEST)

Die Überarbeitung des Artikels ist aus meiner Sicht abgeschlossen. --KleinKlio 16:24, 24. Sep 2006 (CEST)

Hiho, Du musst was Du tust, nicht auf der Diskussionseite dokumentieren. Dies ist durch die Versionsgeschichte einsehbar. Die von Dir gegebenen Begründungen sind auch gut in der Kommentarzeile aufgehoben. --P. Birken 21:35, 24. Sep 2006 (CEST)

Hiho ebenso, lieber P. Birken,

sehe jetzt grade, dass die „Dokumentation“ auf der disku etwas länglich geraten ist. Meine ursprüngliche Intention war mal, eine Diskussion hier anzustoßen und es tat mir a bissl leider, dass ich so viele liebevoll gebaute Formeln geschreddert hab. Ich nehm jetzt den Artikel wieder aus Liste der zu überarbeitenden Artikel raus und will mich, was Plapperei angeht, bessern. Servus --KleinKlio 20:47, 2. Okt 2006 (CEST)

Wups, hab ich ja schon letzte Woche, da kannst ma sehn. :- > --KleinKlio 20:51, 2. Okt 2006 (CEST)