Diskussion:Fundamentalgruppe

Veraltet: Inhaltliche Fehler, was tun?

In diesem Artikel wird einiges durcheinandergeworfen. Was hier definiert wird ist im wesentlichen die erste Homologiegruppe.

Unterschiede sind

• Die Fundamentalgruppe ist zunächst bzgl. eines Basispunktes definiert (bei wegzusammenhängenden Räumen bedeutet Änderung des Fußpunkts Konjugation der Gruppe).
• Der Basispunkt muss während einer Homotopie erhalten bleiben. D.h. die stetige Abbildung vom Quadrat nach X muss Ober- und Unterseite des Quadrat auf den Basispunkt abbilden (sonst bekommt man die freie Homotopiegruppe).
• Die Bezeichnung Rand stammt auch aus der Homologietheorie. Man kann natürlich alles so nennen wie man mag, aber ich finde sie hier sehr ungewöhnlich. Es wäre besser, das Prinzip der Homotopie (auch anschaulich) zu erklären: Eine Kurve darf verformt werden (aber ohne sie zu zerreisen).

Außerdem ist falsch, dass die Menge der Schleifen bereits eine Gruppe bilden. Erst nach Übergang zu Homotopieklassen gibt es z.B. inverse Elemente!

Ich schlage folgende (logische) Struktur vor (für eine präzise Definition):

• Was sind Schleifen?
• Schleifen homotopieren
• Zusammenfassung zu Homotopieklassen und Gruppenstruktur

Es gibt hier also einiges zu ändern. Bevor ich aber den gesamten Artikel umkremple oder neu schreibe, wollte ich hier erst mal diese Punkte zur Diskussion stellen.

Übrigens ist der englische Artikel en:fundamental group ziemlich gut und könnte als Vorbild dienen. --Yonatan 23:13, 16. Feb 2005 (CET)

Habe den Artikel jetzt neu geschrieben. Obiges ist also nicht mehr aktuell. Noch nicht ganz glücklich bin ich mit der Einleitung: Hat jemand eine Idee, wie man kurz (aber korrekt) sagen kann, um was es hier geht? --Yonatan 22:55, 21. Feb 2005 (CET)

Ganz nett erklaert fand ich diesen Punkt wimre im Buch von Rotman (GTM): Man nimmt die Ebene und schneidet ein Loch hinein. Wie kann ich jetzt intrinsisch dieses Loch wiederfinden? Nachtrag: ich sehe gerade, dass das ja unter "Verallgemeinerungen" schon steht. Koennte man schon frueher erwaehnen.--Gunther 15:56, 23. Feb 2005 (CET)

Noch ein Fehler, den man haeufig liest: es geht in der algebraischen Topologie in aller Regel nicht darum, ob sich Raeume ineinander verformen lassen, sondern ob sie homoeomorph oder homotopieaequivalent sind. Der einzige mir bekannte intrinsische Begriff, der so etwas wie Verformung formalisiert, ist Kobordismus, und das meinst Du ja wohl definitiv nicht. Eine kurze, anschauliche Erklaerung des Begriffes Homotopieaequivalenz kenne ich allerdings nicht. Gunther --80.133.111.202 13:45, 23. Feb 2005 (CET)

Du hast Recht: Gemeint ist natürlich Homöomorphismus. (Unter Homotopieäquivalenz ist die Fundamentalgruppe ja quasi per Definition invariant). Ich habe in der Einleitung von Verformung geredet, weil man sich das vielleicht noch besser vorstellen kann als einen abstrakten mathematischen Begriff. Trotzdem ist es nicht präzise und sollte geändert werden. Später benutze ich „Verformung“ glaube ich nur für die Homotopie von Kurven, da sollte der Begriff ja ok sein. --Yonatan 10:48, 24. Feb 2005 (CET)

Galois-Sichtweise

Irgendetwas zum Thema Ueberlagerungen waere sinnvoll, vielleicht unter der Ueberschrift "Verallgemeinerungen".--Gunther 15:56, 23. Feb 2005 (CET)

Ich weiss nicht genau, was Du hiermit meinst. Vielleicht die formale Parallele zwischen Körpererweiterungen/Galois-Gruppe und Überlagerungen/Decktransformationen? Dies würde ich unter Überlagerung ansiedeln, und hier unter Eigenschaften und Anwendungen einen kurzen Verweis auf die Beziehung Fundamentalgruppe--Überlagerung machen. --Yonatan 11:00, 24. Feb 2005 (CET)

Ich dachte im wesentlichen daran, dass man die Fundamentalgruppe auch als Decktransformationsgruppe definieren kann, es wuerde sich mMn also der Abschnitt "Definitionen" anbieten. Die Parallele zur Galoisgruppe sollte aber vielleicht doch besser in einen separaten Artikel.--Gunther 23:56, 24. Feb 2005 (CET)

Auslagerung von Begriffen

Einerseits habe ich das Gefuehl, dass der Artikel einiges definiert, das eigentlich einen eigenen Artikel verdient haette ("homotop", "Homotopieklasse"), andererseits wird er nahezu unlesbar, wenn man nur auf andere Begriffe verweist. Aber vermutlich gibt es auch kaum Leser, die schon wissen, was Homotopieklassen sind. Meinungen?--Gunther 00:02, 25. Feb 2005 (CET)

Homotopie hat jetzt einen eigenen (lesbaren) Artikel, dort sollte auch noch Homotopieklasse (allgemein) erklärt werden. Trotzdem stellt sich die Frage, ob ausgelagert werden soll oder nicht. Ich finde es ok, wenn hier Speziallfälle der Lesbarkeit halber (auch doppelt) erklärt werden; für die allgemeineren Definitionen kann man dann ja weiterklicken. In diesem Sinne wäre es vielleicht besser, direkt Homotopie von Schleifen (und nicht erst allgemeiner von Kurven) zu definieren und zu erklären. --Yonatan 01:36, 25. Feb 2005 (CET)

Fundamentalgruppoid

Sollte hier definiert werden und der Verweis in Gruppoid entsprechend angepasst werden.--Gunther 11:35, 27. Feb 2005 (CET)

Torusrand

Bei den Beispielen wird "Der oben beschriebene Torusrand" erwähnt, das Wort "Torusrand" kommt aber weiter vorne nicht vor. Ist dies das selbe wie der Torus?

Ich habe den Begriff rand gelöscht. Der Rand eines üblichen Torus ist natürlich leer. Hier war der Torus gemeint. --Christian1985 (Disk) 16:23, 17. Apr. 2018 (CEST)