Diskussion:Ganze Zahl

Kommentare 10. Juli 2005

Ein elementarer Abschnitt fehlt. Selbst wenn man sich auf die technischen Aspekte beschränkt, fehlt die Sichtweise als einfachste unendliche Gruppe.--Gunther 10:08, 10. Jul 2005 (CEST)

Mit oder ohne Null?

Hallo Gunther!

Ich bin der Kerl, der dir die Null wegreklamiert hat :-) Ich hab mir jetzt einen User zugelegt, da ich vielleicht öfters vorbeischauen werde.

Leider kann ich deinen Revert nicht ganz verstehen.

1. ist durch die Axiome von Peano vorgegeben, dass die Natürlichen Zahlen keine 0 beinhalten. Man kann nicht einfach etwas verwenden, das durch das, was man definieren will definiert wird. Die Elemente der Äquivalenzklasse $[(1,1)]$ sind als 0 definiert. so ist das nunmal. Das sollte schon genau herauskommen und wenn man schon mit Äquivalenzklassen beginnt, dann sollte man es auch durchziehen.

2. Als neutrales Element der Addition erscheint sie erst in den ganzen Zahlen. Also hat sie in der Menge nichts verloren. Was du meinst ist die Menge der nicht negativen ganzen Zahlen also Elemente der Klasse $[(p,1)]$

Bitte um deine Meinung.

lg Johannes

1. Für die Peano-Axiome ist es egal, ob man mit 1 oder 0 anfängt. Für die mengentheoretische Konstruktion wie hier ist es naheliegender, mit der Null anzufangen. Für die Konstruktion der ganzen Zahlen ist die Einbettung $n\mapsto [(n,0)]$ einfacher als $n\mapsto [(n+1,1)]$.

2. Manchmal will man die natürlichen Zahlen mit Null, manchmal ohne Null. Beide Varianten haben ihre Vor- und Nachteile. Die positiven ganzen Zahlen sind die richtige Menge, wenn es um multiplikative Fragen geht, die nichtnegativen ganzen Zahlen sind der richtige Bereich, wenn es um kombinatorische Fragen von Anzahlen geht.

--Gunther 01:07, 19. Okt 2005 (CEST)

1. ist es nicht EGAL wie man bei den Axiomen von Peano anfängt, weil das Erste lautet:

"1 ist eine natürliche Zahl"

und nicht, wie im Wikipedia Artikel angegeben:

"0 ist eine natürliche Zahl" ...

sollte auch korrigiert werden.

2. handelt es sich nciht mehr um die Menge der Natürlichen ZAhlen, wenn man die 0 dazunimmt. Es gelten dann andere Gesetze, weil andere Objekte vorhanden sind.

Die Mathematik ist eine äußerst exakte Wissenschaft, bei der eine kleine Änderung schon große Auswirkungen auf die Beweisführung verschiedener Aussagen hat.

So gesehen ist die Voraussetzung der Null als Element der natürlichen Zahlen nicht gerechtfertigt. Nicht umsonst sind die natürlichen Zahlen eine additive Halbgruppe ohne neutrales Element - Sprich ohne Null. Ich bitte das zur KEnntnis zu nehmen und nicht die Fundamente der Mathematik in Frage zu stellen :-)

lg Johannes

1. Man könnte die Peano-Axiome auch mit "Blub ist eine natürliche Zahl" formulieren, und es kämen immer noch i.w. die natürlichen Zahlen heraus. In diesem Sinne ist es egal, ob man mit 0 oder 1 anfängt. (Wenn Du auf einer exakten Formulierung bestehst: $\mathbb {N}$ mit der Nachfolgerabbildung $n\mapsto n+1$ und dem Anfangselement $1$ ist ein Modell der Peano-Axiome, genauso wie $\mathbb {N} _{0}$ mit der Nachfolgerabbildung $n\mapsto n+1$ und dem Anfangselement $0$.)

2. Ich habe keine Zählung durchgeführt, aber es gibt viele Mathematiker, die 0 als natürliche Zahl ansehen, und es gibt viele, die das nicht tun. Natürlich widersprechen sich die beiden Möglichkeiten, aber deshalb ist nicht die eine richtig und die andere falsch.

--Gunther 11:46, 20. Okt 2005 (CEST)

Das Symbol der Null ist erst viel später, aus verschiedenen Gründen, in die Mathematik aufgenommen worden. Man sollte dem bei einem systematischen Aufbau der Zahlensysteme Rechnung tragen. GErade eine Enzyklopädie sollte ohne Vereinfachungen auskommen, man kann mögliche Vereinfachungen erwähnen, aber die gehören eher in ein Lehrbuch.

Die Anfangsbildung hat wesentliche Auswirkungen auf die Menge! Auf einmal existiert ein multiplikativ annihilierendes Objekt! Das ist obskur! Außerdem wozu identifiziere ich $[(0,0)]$ mit 0 wenn es das ohnehin schon gibt... (Unsauber bis ans Ende!)

Natürlich kann ich ein beliebiges Symbol für das erste Element der Natürlichen Zahlen verwenden, nur sollte das tunlichst keines sein, das bereits mit einer anderen Stimmigen Bedeutung versehen ist wie 0 oder Blub :-) ...

Wie definieren Sie die Teilbarkeitsrelation auf einer Menge mit Null-Element bezüglich der Addition, das bei Multiplikation annihilierend ist?

lg Johannes

1. Die historische Entwicklung ist für den systematischen Aufbau irrelevant.

würde ich nicht so sehen.

2. Leider kann ich in dem Absatz "Die Anfangsbildung..." keine Argumente entdecken. Wie gesagt, sowohl die Menge der positiven ganzen Zahlen als auch die Menge der nichtnegativen ganzen Zahlen haben ihre jeweilige Bedeutung. Welche der beiden man als "natürliche Zahlen" bezeichnet, ist irrelevant.

weshalb gibt es dann verschiedene Bezeichnungen?

3. "das bereits mit einer anderen stimmigen Bedeutung versehen ist": inwiefern ist dieses Argument bei der 0 stichhaltiger als bei der 1?

die 1 wird in ihrer Bedeutung als erstes Element der natürlichen Zahlen verwendet. Die 0 ist zumeist für annihilierende Elemente, neutrale Elemente bezüglich der Addition in Verwendung.

4. Ich zitiere aus Teilbarkeit: "Ist R ein kommutativer Ring und sind a, b ∈ R Ringelemente, dann ist a ein Teiler von b, falls ein weiteres Ringelement n ∈ R existiert mit a·n = b." Vgl. auch Nullteiler.

Die natürlichen Zahlen bilden keinen Ring. (IN,+) ist genauso wie (IN,·) je eine kommutative Halbgruppe... trotzdem ist diese Definition anwendbar.

Jede natürliche Zahl teilt sich selbst. Wenn die 0 hinzugenommen wird, nicht mehr.

--Gunther 22:55, 20. Okt 2005 (CEST)

lg Johannes

Diese Diskussion ist irgendwie wenig sinnvoll. Es gibt beide Konventionen, und beim mengentheoretischen Aufbau wird üblicherweise die Variante mit Null verwendet (wenn Du es nicht glaubst, suche ich meinetwegen Belege, für den Anfang sollte das genügen). Und genau um den technischen Aufbau der üblichen Zahlenmengen geht es hier.--Gunther 02:21, 21. Okt 2005 (CEST)

Stimmt, sinnlos. Denn die 0 ist nur definiert als die leere Menge. Also nichts. Gut. versuchen wir ein anderes Argument [(0,0)]:=0 ? ist das eine sinnvolle Aussage? also müsste auch [([(0,0)],[0,0])]:=0 usw. gelten. Wie ist da eine eindeutige darstellung möglich? [(1,0)] := (+1) ist eine hingegeh Zuordnung zu einem anderen Symbol, dass man das + weglässt kat darauf keinen Einfluss. ebenso [(0,a)] := (-a) als Symbol.

lg

Johannes

Wenn man es präzise aufschreibt, dann ist das nicht $0=[(0,0)]$, sondern $0_{\mathbb {Z} }=[(0_{\mathbb {N} _{0}},0_{\mathbb {N} _{0}})]$, und letzteres ist $=\{(n,n)\mid n\in \mathbb {N} _{0}\}$. Fängt man mit 1 statt 0 an, muss man genaugenommen auch $1_{\mathbb {Z} }=[(2_{\mathbb {N} },1_{\mathbb {N} })]=\{(n+1_{\mathbb {N} },n)\mid n\in \mathbb {N} \}$ usw. schreiben.--Gunther 23:06, 23. Okt 2005 (CEST)

Einschränkung auf Z- bzw. Z+

Hallo, sollte man nicht einen Hinweis auf die Einschränkung von Z auf Z+ oder Z- anbringen? Evtl. mit einem Beispiel, wann dies nützlich ist?

Ähnliches gilt natürlich auch für andere Zahlenmengen ...

Ciao.

Zahlentheorie

In der Einleitung zu diesem Artikel steht folgender Satz:

"Die Zahlentheorie ist der Zweig der Mathematik, der sich mit Eigenschaften der ganzen Zahlen beschäftigt."

Nun ist aber im Artikel "Zahlentheorie" die Rede von Bereichen wie "Analytische Zahlentheorie", die sich auch mit reellen Zahlen beschäftigen. Was stimmt denn jetzt? Oder wird die Mathematik der ganzen Zahlen einfach dazu benutzt, indirekt die Sätze über irrationale Zahlen zu beweisen? --Frager X 01:37, 25. Feb. 2011 (CET)

Konstruktion aus den natürlichen Zahlen

Hier fehlt eigentlich noch die Aussage, dass es für jede Äquivalenzklasse entweder einen Repräsentanten der Form (a - 0) (natürliche Zahl) oder einen Repräsentanten der Form (0 - a) (negative natürliche Zahl) gibt. Das ist nicht selbstverständlich. Und nur dann weiß man, dass man wirklich die ganzen Zahlen konstruiert hat,und nicht sonst irgent eine Gruppe. --B-greift (Diskussion) 22:48, 19. Mär. 2014 (CET)

"dass man wirklich die ganzen Zahlen konstruiert hat". Diese Aussage hat nur einen Sinn, wenn Du irgendeine andere Definition der ganzen Zahlen verwendest. Welche Definition der ganzen Zahlen verwendest Du? --NeoUrfahraner (Diskussion) 08:05, 20. Mär. 2014 (CET)

Lese doch mal den zweiten Satz im Artikel: "Die ganzen Zahlen umfassen ...". Die dargestellte der Konstruktion der ganzen Zahlen über Äquivalenzklassen von Paaren natürlicher Zahlen ist ja ein mathematischer Kunstgriff. Dass dann am Ende jede konstruierte Zahl als eine natürliche Zahl oder als die Negation einer natürlichen Zahl aufgefasst werden kann, ist nicht von vorn herein klar. --B-greift (Diskussion) 11:14, 20. Mär. 2014 (CET)

In en:Integer findet sich:

Every equivalence class has a unique member that is of the form (n,0) or (0,n) (or both at once). The natural number n is identified with the class [(n,0)] (in other words the natural numbers are embedded into the integers by map sending n to [(n,0)]), and the class [(0,n)] is denoted −n (this covers all remaining classes, and gives the class [(0,0)] a second time since -0=0.

Thus, [(a,b)] is denoted by

${\begin{cases}a-b,&{\mbox{if }}a\geq b\\-(b-a),&{\mbox{if }}a<b.\end{cases}}$

If the natural numbers are identified with the corresponding integers (using the embedding mentioned above), this convention creates no ambiguity.

Meinst Du in etwa so etwas? --NeoUrfahraner (Diskussion) 13:10, 20. Mär. 2014 (CET)

Ja, genau! --B-greift (Diskussion) 13:39, 20. Mär. 2014 (CET)

Ich habe einen Vorschlag formuliert. Einverstanden? --NeoUrfahraner (Diskussion) 15:40, 20. Mär. 2014 (CET)

Ja, danke. --B-greift (Diskussion) 17:24, 20. Mär. 2014 (CET)