Diskussion:Interest-Operator

Zähler und Nenner bei w und q im Förstner Interest-Operator vertauscht? (Siehe Original-Paper von Förstner [1] Formel 12 und 15: $w={\frac {tr~N}{det~N}}$ und $q={\frac {tr^{2}~N}{4det~N}}$) (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von 77.180.119.14 (Diskussion • Beiträge) 18:18, 3. Feb 2008) Curtis Newton ↯ 14:57, 12. Mär. 2008 (CET)

In der Publikation aus dem Jahr 1987 haben sich wohl einige Fehler eingeschlichen. Denn in der Habilitation von Förstner aus dem Jahr 1991 stehen andere Formeln (s. S. 48), so, wie sie auch im Artikel stehen. Ich werd dies gleich mal als Beleg im Artikel hinzufügen. OlafTheScientist (Diskussion) 04:06, 1. Jul. 2020 (CEST)

Namensgebung

Welche Sprache soll den der Begriff "Interest-Operator" sein? Deutsch oder Englisch?

Der Harris-Eckpunktdetektor sollte nicht "Plessey"-Operator heißen und schon gar nicht "Plessy"-Operator (Rechtschreibfehler), da Plessey ein Firmenname ist.

Die Kontinuität der Verschiebungsfunktion wird nicht durch die Autokorrelationsfunktion erreicht, sondern durch Verwenden einer Taylorreihe. (nicht signierter Beitrag von 91.12.102.20 (Diskussion | Beiträge) 11:54, 8. Nov. 2009 (CET))

Förstner-Operator: Die Autokorrelationsmatrix A muss NICHT! invertiert werden, das ist falsch!

Vor Jahren hat hier jemand den Artikel dahin gehend geändert, dass behauptet wurde, dass die Autokorrelationsmatrix $A$ invertiert werden muss. Dies ist auf jeden Fall falsch! Einerseits erklärt der WP-Artikel Autokorrelation selbst, dass die Autokorrelation eine normierte Autokovarianz ist – ohne Invertieren der Matrix. Auch in der Habilitation (PDF) von Förstner wird Korrelationsfunktion und Kovarianzfunktion synonym verwendet (s. S. 19 bis 20). Und schliesslich darf man hier nicht durcheinander kommen mit der aus der Ausgleichungsrechnung (Methode der kleinsten Quadrate) bekannten Kovarianzmatrix C. Die hat mit der Autokovarianz nichts zu tun. Ich werde den Artikel demnächst entsprechend korrigieren. Gruß! OlafTheScientist (Diskussion) 19:56, 3. Jul. 2020 (CEST)

Ich hab nochmal weiter recherchiert, und bin dabei auf eine Publikation (PDF) von Förstner aus dem Jahr 1986 gestoßen. Dort beschreibt er eine Äquivalenz zwischen der Kovarianzmatrix $C$ (welche aus der Normalgleichungsmatrix $N$ berechnet wird) und der 2D-Autokovarianzfunktion (welche sich aus den Grauwerten des Bildes ergeben also der Bildfunktion $f$) (s. S. 7 Gleichung (3-1) u. (3-2)). In Gleichung (3-2) wird die Formel für das Gewicht angegeben mit $w={\frac {1}{\operatorname {spur} (C)}}={\frac {1}{\operatorname {{\widehat {\sigma }}_{\Delta g}^{2}\cdot spur} (Q)}}={\frac {1}{\operatorname {{\widehat {\sigma }}_{\Delta g}^{2}\cdot spur} (N^{-1})}}$. Daraus folgt unmittelbar, dass: $C={\widehat {\sigma }}_{\Delta g}^{2}\cdot N^{-1}$, d. h. die Kovarianzmatrix ist proportional zur inversen Normalgleichungsmatrix: $C\cong N^{-1}$. Insoweit muss ich mich selbst korrigieren. Die Kovarianzmatrix hat in diesem Fall doch etwas zu tun mit der Autokovarianz und damit mit der Matrix $A$ und zwar: $A=N\cong C^{-1}$.

Auf Seite 9 (gleiche Quelle) schreibt Förstner weiterhin, dass die Eigenwerte der Matrix $Q$ und ihrer inversen Matrix $N=Q^{-1}$ sich jeweils aus einer reziproken Funktion ermitteln lassen: $\lambda (Q)={\frac {1}{\lambda }}(N)$. Anders gesagt: die Eigenwerte von $Q$ sind identisch mit den reziproken Eigenwerten von $N$. Diese Tatsache wiederum führt zur Vereinfachung, dass man die Eigenwerte von $N$ bestimmt, um darauf aufbauend den Parameter $q$ (Rundheit) zu berechnen, ohne eine Matrix invertieren zu müssen (s. S. 9 Gleichung (4-1)). Damit ist streng genommen die Aussage im Artikel "..., dass die Matrix $A^{-1}$ der Kovarianzmatrix entspricht ..." zwar korrekt, meiner Meinung nach aber irreführend. Aber die zweite Aussage "..., dass $\lambda _{1},\lambda _{2}$ die Eigenwerte von $A^{-1}$ (nicht von $A$) sind", ist jedoch falsch – wie gerade von mir dargestellt aufgrund des reziproken Zusammenhangs.

Und der Vollständigkeit halber füge ich noch die Herleitung des Gewichts hinzu, die nun ebenfalls unabhängig von der Kovarianzmatrix formuliert werden kann. Ausgehend von Gleichung (3-2) (s. S. 7) wird ist das Gewicht $w={\frac {1}{\operatorname {spur} (C)}}={\frac {1}{\operatorname {{\widehat {\sigma }}_{\Delta g}^{2}\cdot spur} (Q)}}={\frac {1}{\operatorname {{\widehat {\sigma }}_{\Delta g}^{2}\cdot spur} (N^{-1})}}$. Wegen Gleichung (4-2) (s. S. 9) gilt: $\operatorname {spur} (Q)={\frac {\operatorname {spur} (N)}{\det(N)}}$. Setzt man dies in obige Gleichung ein, dann ergibt sich für das Gewicht: $w={\frac {1}{{\widehat {\sigma }}_{\Delta g}^{2}\cdot \operatorname {spur} (Q)}}={\frac {1}{{\widehat {\sigma }}_{\Delta g}^{2}\cdot {\frac {\operatorname {spur} (N)}{\det(N)}}}}={\frac {\det(N)}{{\widehat {\sigma }}_{\Delta g}^{2}\cdot \operatorname {spur} (N)}}$. Dies entspricht damit der Formel im Artikel bis auf den Faktor ${\frac {1}{{\widehat {\sigma }}_{\Delta g}^{2}}}$. Die Formel für $w$ ohne diesen Faktor wird jedoch so propagiert in Förstners Habilitation (s. S. 48 Gleichung (222-19)) aus dem Jahr 1991. Deswegen ist diese Formel zu bevorzugen – steht ja auch so schon im Artikel. So, das soll es erst einmal gewesen sein! :-) OlafTheScientist (Diskussion) 00:13, 4. Jul. 2020 (CEST)