Diskussion:Markow-Ungleichung (Stochastik)

Beispiel

Das Beispiel kann ja wohl so nicht stimmen. >= 4 zu würfeln heißt ja 4 oder 5 oder 6 zu würfeln. Da die Wahrscheinlichkeiten gleich verteilt sind wäre das 3*1/6=1/2. Das Problem ist denke ich, dass diese Formel ja auch einen wert für >=7 liefern würde... -- 87.181.115.175 19:21, 4. Apr. 2009 (CEST)

Die Markow-Ungleichung schätzt nach oben ab. Und ${\frac {1}{2}}\leq {\frac {7}{8}}$. Wo ist das Problem? --Erzbischof 17:11, 26. Apr. 2009 (CEST)

Gut, Beispiele sollten einfach sein, aber auch eine Praxisrelevanz aufweisen. In diesem Beispiel ist die Abschätzung so unscharf, dass das Ergebnis eher verwirrt, als das die Rechnung erhellt.--92.229.223.199 16:17, 12. Nov. 2009 (CET)

Also erhellend finde ich persönlich das Beispiel schon. Vllt. könnte man noch explizit darauf hinweisen, dass "<= 7/8" "3*1/6=1/2" einschließt, um es deutlich zu machen. -- MM-Stat 16:29, 8. Jan. 2010 (CET)

Das Problem ist, dass die zugehörige Frage nicht wirklich treffend formuliert ist. Es wird "nur" eine obere Schranke für die Wahrscheinlichkeit berechnet und nicht die Wahrscheinlichkeit (nach der gefragt wird) für das Ereignis selbst. "Wie wahrscheinlich ist Ereignis x?" kann man natürlich im normalen Sprachgebrauch indirekt mit einer Intervallangabe ala ungefähr 60% oder zwischen 30-60 % usw. beantworten, aber da hier die exakte Bestimmung der Wahrscheinlichkeit einfach bestimmbar ist und zumal es sich hier um einen mathematischen Artikel handelt, würde ich empfehlen auf eine korrekte (oder übliche) Abbildung von natürlicher Sprache zu mathematischen Ausdrücken zu achten. Streng genommen wird hier die Gleichung mit einer Ungleichung gleichgesetzt. (nicht signierter Beitrag von 130.83.107.68 (Diskussion) 23:43, 3. Aug. 2011 (CEST))

Ich bin über den Satz: "Wie wahrscheinlich ist es, bei einem Würfelwurf wenigstens eine 4 zu würfeln?" gestolpert und würde die Formulierung: "Wie wahrscheinlich ist es, bei einem Würfelwurf einen Wert größer oder gleich 4 zu würfeln?". Es geht mit etwas Nachdenken zwar aus dem Kontext hervor, was gemeint ist, aber ich habe es zunächst so verstanden: "...mindestens einmal einen Wert gleich 4 zu würfeln". (nicht signierter Beitrag von 131.234.65.20 (Diskussion) 11:27, 1. Feb. 2011 (CET))

Artikel Schrott

Der ganze Artikel ist schrott. Wer hat den geschrieben?? --217.255.155.42 01:24, 25. Mär. 2009 (CET)

Ich sags mal so: Woran erkenne ich jetzt, dass die neue Version besser ist? Noch anders gesagt: Einen unbelegten Artikel durch einen unbelegten Artikel zu ersetzen bringts nicht. --P. Birken 19:10, 25. Mär. 2009 (CET)

Betrag?

müsste bei der variante mit dem c-fachen übertreffen des erwartungswertes nicht |X| stehen statt nur X?

Dem stimme ich zu. Ich habs direkt mal geändert. --MRA 17:51, 12. Mär. 2007 (CET)

darf ich das warsch-maß in P und die eckigen in runde klammern konvertieren? Dann passts wieder mit der allgemeinen mathe-notation LG Fluffythekitten 16:42, 31. Okt. 2007 (CET)

h

Warum wird in der Markow-Ungleichung statt der Zufallsvariablen X die Abbildung h(X) betrachtet? Wenn h meßbar ist, ist auch h(X) wieder eine Zufallsvariable. Wo liegt der Vorteil in der Ersetzung von X durch h(X)? --FRR 10:40, 9. Apr. 2008 (CEST)

Der Vorteil liegt darin, dass das h auf der linken Seite nicht auftaucht. In vielen Fällen betrachtet man für h einfach die Identität, das ist aber kein Muss und eine geschickte Wahl von h kann eine schärfere Abschätzung liefern.--92.229.223.199 16:17, 12. Nov. 2009 (CET)

Fehler?

Da ist doch ein Fehler im Artikel, d.h. es fehlt wohl eine Voraussetzung. Das Ganze kann nur für Zufallsvariablen gelten, die einen positiven Erwartungswert haben (oder ZV, die nur in R+ gehen). Betrachte eine ZV mit Pr [ X=-1000] = 1/2 und Pr [x=1000] = 1/2. Es ist EX = 0, und "nach Markow" Pr [ X > 500 ] = Pr [ X > 500 * 0 ] <= 1/500, was offenbar falsch ist.

Sorry, steht ja schon drin. Hab ich überlesen. (nicht signierter Beitrag von 89.247.87.144 (Diskussion | Beiträge) 19:23, 30. Nov. 2009 (CET))

Ich sehe diese Voraussetzung im Text nicht. Das Beispiel zeigt aber, dass sie nötig ist. Hier noch einmal in schön: Man betrachte eine Zufallsgröße $X:\Omega \rightarrow \mathbb {R}$ mit

$P\left(X=-1000\right)=P\left(X=1000\right)={\frac {1}{2}}$ und $P\left(X=x\right)=0$ für $x\notin \left\{-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right\}$.

Es ist $E\left(X\right)=0$ und die Ungleichung liefert $P\left(X\geq 500\right)\leq {\frac {E\left(X\right)}{500}}=0$, was offenbar falsch ist. --77.186.109.100 18:17, 17. Jun. 2017 (CEST)

Ja, die von dir angegebene Ungleichung ist im Allgemeinen falsch. Aber sie steht doch auch gar nicht im Artikel. Oder habe ich was übersehen? -- HilberTraum (d, m) 19:24, 17. Jun. 2017 (CEST)

Das wäre die Anwendung der Markov-Ungleichung für die Wahl $h\left(x\right)=x$. Ich glaube aber, ich sehe jetzt, wo das Problem steckt: Es wird $h:\mathbb {R} \rightarrow \left[0,\infty \right)$ gefordert, was $h\left(x\right)=x$ ja gar nicht erfüllt. Damit ist die erste im Artikel angegebene Variante der Markov-Ungleichung aber formal ebenfalls falsch (die benutzt dasselbe $h$). --78.51.168.107 23:52, 8. Jul. 2017 (CEST)

Hm ja, streng genommen schon. Aber weil dort $|X|$ betrachtet wird, spielt es keine Rolle, dass $h(x)<0$ ist, wenn $x<0$. Etwas allgemeiner als im Abschnitt „Satz“ reicht es, dass $h(x)\geq 0$ für alle $x$ im Wertebereich von $X$ gilt. -- HilberTraum (d, m) 19:43, 9. Jul. 2017 (CEST)

Lohnt es sich dann, im Abschnitt „Satz“ die Bedingung $h:\mathbb {R} \rightarrow [0,\infty )$ durch $h:\operatorname {Bild} \left(X\right)\rightarrow [0,\infty )$ zu ersetzen? --77.186.188.193 10:56, 23. Jul. 2017 (CEST)

Mit jeder Verallgemeinerung wird die Aussage zwar immer unübersichtlicher, aber ich habe jetzt doch mal was ergänzt. -- HilberTraum (d, m) 19:45, 24. Jul. 2017 (CEST)