Diskussion:Partielle Spur

Zum unendlich-dimensionalen Fall

Ich bitte um eine etwas genauere Formulierung. Es fehlt, dass k eine ONB von ${\mathcal {K}}$ durchläuft und die in der Formel tiefgestellten ${\mathcal {K}}$ werden auch nicht erklärt. Das ergibt sich auch nicht aus dem Artikel über die Dirac-Notation. Ich würde mich freuen, wenn der Autor das noch nachholen könnte. --FerdiBf (Diskussion) 10:44, 7. Jan. 2017 (CET)

Umformulierung von ‚Endlichdimensionaler Fall‘

Da war manches nicht so gut. Gleich am Anfang ein Link auf ‚Endomorphismus‘, wo ich gar keinen E. sehe. Dann eine unsaubere Definition: Die Lineariät wird nicht gezeigt, sondern stillschweigend vorausgesetzt oder gefordert, man weiß nicht, ob dies oder das. Zweitens: Man kann nicht einfach setzen: $\operatorname {tr} _{V_{2}}(A_{1}\otimes A_{2}))=\operatorname {tr} (A_{2})A_{1}$. Die $A_{1}\otimes A_{2}$ sind ja nicht linear unabhängig. Es wäre notwendig, zu zeigen, dass kein Widerspruch zur Linearität besteht. Drittens: Dass man einen Operator, wenn man explizit mit ihm umgeht, durch eine Basis des Vektorraumes darstellt und mit den Koordinaten (mit der Matrix) rechnet, ist selbstverständlich und daher in einem Artikel zur Partialspur überflüssig. Viertens wird da eine recht unverständliche Formel angeschrieben, man könne damit die Partialspur koordinatenfrei definieren. Wen interessiert das, wo sich doch die Koordinatenfreiheit leicht anders zeigen lässt? Und dann wird fünftens vergessen, darauf hinzuweisen, dass es genau diese Formel ist, die die Partialspur für die Physik interessant macht. Man könnte sagen, es sei diese Formel, derentwegen der Artikel geschrieben ist. Dass das im Abschnitt ‚Relevanz ...‘ umfangreich ausgeführt wird, ist keine Entschuldigung. Man kann einen Verweis anbringen, oder die Formel hier weglassen. Ich habe stattdessen eine kurze Erklärung eingefügt, weil ich den Eindruck habe, dass das in der Weite des Relevanz-Abschnitts untergeht.– Binse (Diskussion) 02:58, 23. Mai 2020 (CEST)

Jetzt ist es kaputt. Die Räume sind nicht mehr endlichdimensional. Die Einschränkung auf hermitesche Opeatoren ist Unsinn, die bilden nicht einmal einen Vektorraum (über $\mathbb {C}$) wie fälschlicher Weise angegeben. Die Definitionsformel $\operatorname {tr} _{V_{2}}(A_{1}\otimes A_{2}))=\operatorname {tr} (A_{2})A_{1}$ ist völlig ok, weil die rechte Seite offenbar bilinear in $A_{1}$ und $A_{2}$ ist. Wen interessiert das? Wenn etwas nicht von Koordinaten anghängt, ist eine koordinatenfreie Definition immer interessant. Die Dirac-Notation hat hier auch noch nichts verloren. Ich fürchte, wir müssen die Version zurückrollen.--FerdiBf (Diskussion) 09:37, 23. Mai 2020 (CEST)

Ich habe den ursprünglichen Texr wieder hergestellt, da die neuere Version Fehler enthielt, insbesondere die Einschränkung auf hermitesche Operatoren. Grundlegende Änderungen sollten erst hier diskutiert werden.--FerdiBf (Diskussion) 12:33, 23. Mai 2020 (CEST)

Hm. Schlägst Du eigentlich immer gleich mit dem Holzhammer drein, wenn Dir was nicht gefällt FerdiBf? So grundlegend fand ich meine Änderung eben nicht, dass man vorher diskutieren muss. Nachträglich ist das einfacher und würde ohne den Hammer sogar besser gehen. Also lass uns sachlich diskutieren.

Erstens ist mir schon mal unklar, warum die Räume nicht mehr endichdimensional sein sollen.

Zweitens. Wieso bilden hermitische Operatoren auf einem komplexen Vektorraum keinen Vektorraum? Zeig mir mal eine Linearkombination von hermitischen Operatoren, die nicht hermitisch ist. Haben wir vielleicht unterschiedliche Definitionen von ‚hermitisch‘? Ich hätte nichts dagegen, selbstadjungiert zu schreiben.

Drittens: Du berufst Dich auf Bilinearität. Das sollte dann vielleicht auch dastehen. Hilft aber eh nichts. Es genügt nicht, einfach etwas hinzuschreiben, was bilinear aussieht. Die Darstellung eines Operators als $A=\textstyle \sum _{i}(A_{ui}\otimes A_{vi})$ ist auf viele verschiedene Weisen möglich und Du musst zeigen, dass Deine Definition stets dasselbe Ergebnis liefert.

Viertens: So blöd bin ich nicht, dass ich die Koordinatenunabhängigkeit uninteressant finde. Aber lies doch ein Stückchen Satz bitte nicht so für sich! Da kommt noch ein Nebensatz: „wo doch ...“. Ich moniere, dass die Koordinatenunabhängigkeit mit einer aus dem Zusammenhang gerissen unverständlichen Formel begründet wird (ohne zu sagen, wie das geht), während es doch anders leichter geht. Beachte bitte, dass das in meiner Variante ganz nebenbei passiert, in der alten eben eigentlich gar nicht.

Fünftens: Die Dirac-notation habe nicht ich hereingebracht, Die stand schon in der alten Version. Ich bin davon auch kein uneingeschränker Fan, aber Du wirst kaum einen für die Quantenmechanik relevanten Artikel finden, der sie nicht verwendet. Ich finde sie für das Thema ganz praktisch. Vorher und jetzt wieder ist im wesentlichen Dasselbe zweimal gesagt: einmal so und einmal mit ‚Matrizen‘, will sagen, mit expliziten Koordinaten. Nicht sehr sinnvoll.

Sechstens: Mit dem Grundkörper und den Operatoren habe ich tatsächlich ein Problem. Wenn ich über die Spur von Operatoren (im Grunde doch von Matrizen) rede, tue ich das ungern am äußersten Rande dessen, was man definieren kann. Das gibt hier nicht viel Sinn. Die Matrizen sollten mindestens diagonalisierbar sein, damit ich die Spur als Summe der Eigenwerte zitieren kann für die Koordinatenunabhängigkeit. Und Eigenwerte können komplex sein. Die Dirac-notation, wenn man sie schon mal benutzen will, verlangt immerhin, dass der Vektoraum mi seinem Bidual isomorph ist. Das ist zwar sehr allgemein, aber irgend eine Einschränkung scheint nötig zu sein. Die zu begründen lenkt leider vom Thema ab. Also habe ich einfach $\mathbb {C}$ genommen. Der typische Leser des Artikels denkt ja doch an Hilberträume. Ich hatte schon daran gedacht, dazuzusagen, das das nur der für die Anwendung wichtigste Spezialfall ist. Kann ich immer noch gerne machen.

Wie sieht's aus? Stell bitte meine Version wieder her, und wir reden über weitere Verbesserungen.– Binse (Diskussion) 18:27, 23. Mai 2020 (CEST)

Erstens: Du hattest die Voraussetzung der endlichen Dimension nicht mehr erwähnt.

Zweitens: Ist A hermitesch, so ist 7i*A nicht hermitesch.

Drittens: Muss ich nicht, denn jede bilineare Abbildung faktorisiert linear über das Tensorprodukt. Das ist der Kern der Definition des Tensorproduktes.

Viertens: Ich habe mit keinem Wort irgendjemanden als blöd bezeichnet. Du selbst fragst, wen eine koordinatenunahängige Formel interessiert.

Fünftens: Das stimmt, die Dirac-Notation war schon da.

Sechstens: Zur Definition der Spur braucht man keine Diagonalisierbarkeit.

Ich habe allerdings keine Lust auf einen Edit-War, das habe ich noch nie gemacht. Ich habe den alten Text wieder hergestellt, weil der neue fehlerhaft war, das ist alles. Wenn Du alle Fehler vermeidest, kannst Du gerne umformulieren. Allerdings erwarte ich dadurch eine Verbesserung des Artikels, das war bisher leider nicht der Fall. Es kann nicht sein, dass Du eine fehlerhafte Version hinstellst und dann eine Verbesserung dieser Version verlangst, obwohl wir bereits eine bessere Vorgängerversion hatten.--FerdiBf (Diskussion) 19:52, 23. Mai 2020 (CEST)

Hallo FerdiBf! Leider hatte ich gestern Computerprobleme. Sind hoffentlich vorbei.

Also, was bist Du doch für ein Dramatiker! Weil ich der Meinung bin, Die dicke Überschrift sagt dem Leser deutlich genug, dass es jetzt um endlichdimenionale Dinge geht, erschreckst du mmich mit Tönen, als breche die Welt in Stücke. Wenn Dir das so am Herzen liegt, schreibe ich es gerne hin.

Zu 2. Da habe ich mich von Dir ins Bockshorn jagen lassen. Tatsächlich bilden die hermitischen Operatoren keinen Vektorraum über $\mathbb {C}$, sondern über $\mathbb {R}$. Die Diagonalelemente sind reell, wer wird da mit $i$ multiplizieren. Das steht je auch gar nicht in meiner Version. Da war $\mathbb {C}$ als Grundkörper für $U$ und $V$ angenommen. Bezüglich $L(U)$ und $L(V)$ hast Du mir das angedichtet und dann den Holzhammer gezückt.

Zu 3. Da hast Du einen Punkt. Die Tensorproduktstruktur kann helfen. Das musst Du dann aber schon irgendwie andeuten. Und mit der Faktorisierung kannst Du nicht argumentieren, so fundamental die sein mag, denn Du hast die Bilinearität ja eben nicht. Was Du brauchst, ist das Produkt linearer Abbildungen. Ich komme darauf zurück.

Zu 4. Natürlich hast Du mich nicht blöd genannt. Sowas tut man doch nicht. Aber mir diesen Blödsinn in den Mund, vielmehr in die Feder zu legen, Koordinatenfreiheit sei uninteressant, und das jetzt noch (leicht modifiziert) zu wiederholen, ist schon ein wenig kränkend. Tatsächlich habe ich sie doch in meiner Version ausdrücklich erwähnt und begründet, während die wundervolle alte Variante nur behauptet, eine gewisse Relation würde das implizieren. Tatsache ist doch, dass im Prinzip jede Relation, die nur für $\operatorname {tr} _{V}$ gilt, diese Abbildung koordinatenfrei definiert. Davon gibt es sicherlich unendlich viele. Man muss nur zeigen, dass sie genau eine Lösung hat. Wie das gehen soll, wird aber nicht einmal angedeutet. Und warum gerade diese, vom Himmel gefallene Relation, auch nicht. Und jetzt sag mir doch mal, warum das irgendwen interessieren sollte, wo es doch viel einfacher geht?

Zu 6. Ich habe nicht behauptet, man brauche Diagonalisierbarkeit um die Spur zu definieren. Was ich geschrieben habe, ist, dass ich nicht mit der weitest möglichen Definition arbeiten möchte.

Im Übrigen: Keinen Edit War? Mach ich schon nicht. Aber, dass ich nur schreiben darf, was Dir gut und richtig erscheint, das meinst Du echt? Hm.

Eine Funktion, die sich auf Tensorprodukte bezieht, auch selbst als Tensorprodukt zu definieren, ist eigentlich ganz natürlich. Ich stell mir das so vor:

Es seien $U$ und $V$ endlichdimensionale Vektorräume, $W=U\otimes V$, dazu $L(U),\,$$L(V),\,$$L(W)$ die linearen Räume der linearen Operatoren auf diesen. Dann ist die ‚partielle Spur über $V$‘ definiert als die lineare Abbildung $\operatorname {tr} _{V}=\operatorname {Id} _{u}\otimes \operatorname {tr}$ von $L(W)$ nach $L(U)$ mit der Identität $\operatorname {Id} _{u}$ auf $L(U)$ und der Spur $\operatorname {tr}$ der Operatoren $A_{v}\in L(V)$. Für ein Operatorenprodukt $A=A_{u}\otimes A_{v}$ mit $A_{u}\in L(U),\,A_{v}\in L(V)$ bedeutet das 

$\operatorname {tr} _{V}(A)=(\operatorname {Id} _{u}\otimes \operatorname {tr} )(A_{u}\otimes A_{v})=A_{u}\cdot \operatorname {tr} (A_{v})$.

Ein beliebiger Operator $A\in L(W)$ hat stets Darstellungen der Form 

$A=\textstyle \sum _{i}(A_{ui}\otimes A_{vi})$  mit  $A_{ui}\in L(U),\,A_{vi}\in L(V)$.

Folglich ist

$\operatorname {tr} _{V}(A)=\textstyle \sum _{i}\operatorname {tr} (A_{vi})\cdot A_{ui}.$

Die (totale) Spur $\operatorname {tr}$ auf $L(W)$ ist die Verkettung von $\operatorname {tr} _{V}$ mit der Spur $\operatorname {tr} ^{u}$ auf $L(U)$: $\operatorname {tr} =\operatorname {tr} ^{u}\circ \operatorname {tr} _{V}$. Das definiert $\operatorname {tr} _{V}$ aber nicht eindeutig. 

Endlichdimensionalität ist hier, soviel ich sehe, gar nicht notwendig. Man muss nur bei unendlicher Dimension die $A,\,A_{u},\,A_{v}$ auf Spurklassenoperatoren einschränken und kann die Operatoren nur bei endlicher Dimension als Matrizen behandeln. Vielleicht sollte man die Zweiteilung des Artikels aufgeben.

Gruß, Binse (Diskussion) 14:16, 28. Mai 2020 (CEST)

OK. Also in diesem Sinne. – Binse (Diskussion) 02:27, 9. Jun. 2020 (CEST)

OK. Das mit dem Dramatiker muss ich gelten lassen, am Ende waren es ja alles behebbare Kleinigkeiten. Natürlich geht es nicht nur darum, was mir gut und richtig erscheint. Obwohl ... Richtigekit ist mir schon wichtig ;-). Vielen Dank für Deine Arbeit an diesem Artikel.--FerdiBf (Diskussion) 19:48, 9. Jun. 2020 (CEST)

Gern akzeptiert, FerdiBf. Am Ende steht ja als Ergebnis der Diskussion eine Version, die mir deutlich besser gefällt, als die mit Bra-Ket. Ich weiß nicht, ob Du Dich zuständig fühlst, aber der unendliche Fall ist auch nicht astrein. Es ist nämlich nicht nur die Dimension: Der endliche Fall ist jetzt vom Grundkörper unabhängig, Im unendlichen Fall wird unversehens auf Hilberträume mit ihrer Metrik umgeschwenkt.

Übrigens habe ich Lust, auch an der Einleitung noch etwas herumzudoktern. Mal sehn.– Binse (Diskussion) 02:16, 10. Jun. 2020 (CEST)

Umformulierung zum Abschnitt Relevanz

Der Abschnitt schien mir ebenfalls verbesserbar. Da stand zu viel drin. Mehr als zwei direkte Faktoren machen keinen Sinn, wenn man das Wesentliche der Sache aufzeigen will, zumal man ja mehrere Faktoren stets zu einem zusammenfassen kann. Das Wesentliche ist doch, dass der Dichteoperator eines Teilsystems sich durch Bildung einer partiellen Spur aus dem Dichteoperator des Gesamtsystems berechnen lässt. Und das soll möglichst deutlich dargestellt sein. Das ist in der Tat besonders nützlich, wenn der Rest des Systems für eine Messung nicht zugänglich ist, hängt davon aber nicht ab. Das Bedürfnis, ein Teilsystem zu messen, kann auch so eintreten. Unwichtig ist auch, ob das System dynamisch oder statisch ist. WP ist kein Lehrbuch, das alle möglichen Fälle aufzählen müsste. Wichtig zu sagen ist anderseits, dass hier der allgemeine Zustandsbegriff verwendet wird und das Wort nicht wie häufig die Vektoren des Hilbertraums meint.

Natürlich stehe ich wieder für Eure Kritik zur Verfügung.– Binse (Diskussion) 03:00, 9. Jun. 2020 (CEST)