Diskussion:Reed-Muller-Code

Der folgende Abschnitt "Beweise" ist nocht nicht vollständig verstanden/übersetzt.

Beweise

Es gibt

$\sum _{s=0}^{d}{d \choose s}=2^{d}=n$

such vectors and $\mathbb {F} _{2}^{n}$ has dimension n so it is sufficient to check that the n vectors span; equivalently it is sufficient to check that RM(d, r) = $\mathbb {F} _{2}^{n}$.

Let x_i be an element of X and define

$y_{i}={\begin{cases}v_{i}&{\mbox{ if }}x_{i}=0\\1+v_{i}&{\mbox{ if }}x_{i}=1\\\end{cases}}$

Then $\mathbb {I} _{\{x\}}=y_{i}\wedge \ldots \wedge y_{d}$

Expansion via the distributivity of the wedge product gives $\mathbb {I} _{\{x\}}\in {\mbox{ RM(d,d)}}$. Then since the vectors $\{\mathbb {I} _{\{x\}}\mid x\in X\}$ span $\mathbb {F} _{2}^{n}$ we have RM(d, r) = $\mathbb {F} _{2}^{n}$.

2

By 1, all such wedge products must be linearly independent, so the rank of RM(d, r) must simply be the number of such vectors.

3

Omitted.

4

By induction.

The RM(d,0) code is the repetition code of length n=2^d and weight n = 2^d-0 = 2^d-0. By 1 RM(d, d) = $\mathbb {F} _{2}^{n}$ and has weight 1 = 2⁰ = 2^d-d.

The article bar product (coding theory) gives a proof that the weight of the bar product of two codes C₁ , C₂ is given by

$\min\{2w(C_{1}),w(C_{2})\}$

If 0 < r < d and if

i) RM(d-1,r) has weight 2^d-1-r

ii) RM(d-1,r-1) has weight 2^d-1-(r-1) = 2^d-r

then the bar product has weight

$\min\{2\times d^{d-1-r},2^{d-r}\}=2^{d-r}.$

Dimensionalität

Im Text heißt es:

$X=\mathbb {F} _{2}^{d}=\{x_{1},\ldots ,x_{2^{d}}\}$

Sollte das nicht korrekterweise

$X=\mathbb {F} _{2}^{2^{d}}=\{x_{1},\ldots ,x_{2^{d}}\}$

heißen? (Beachte die Potenz von $\mathbb {F}$). -- octo 15:30, 24. Jun. 2009 (CEST)

Balkenprodukt

Der Begriff Balkenprodukt findet sich ausschließlich auf dieser Seite. Auch mit Google finde ich nur Seiten, die Wikipedia kopieren (hoffentlich nicht umgekehrt ;). Was ist damit gemeint? Gibt es dafür noch eine andere Bezeichnung? -- octo 15:35, 24. Jun. 2009 (CEST)

Die Eindeutschung ist fraglich, zumindest ist diese Wortschöpfung gänzlich unüblich. Zum Inhalt siehe en:Bar_product_(coding_theory).--wdwd 19:30, 24. Jun. 2009 (CEST)