Der Artikel enthält eine vereinfachte Version der ursprünglichen Aussage. Das kam, da ich in den zur Verfügung stehenden Büchern keinen sinnvollen Beweis fand. Nun ist mir das 3-Seiten-Paper "J. M. Ortega: The Newton-Kantorovich Theorem, Amer. Math. Monthly 75 (1968)" in die Hände gefallen, in der die schärfere Aussage auf einfache Weise angegeben ist.
Seien
Banachräume,
ein Gebiet,
, F auf einer konvexen offenen Teilmenge
differenzierbar mit Lipschitz-stetiger Ableitung,
.
Operatornormen sind von den Banachraumnormen induziert.
Fixiere ein
mit beschränkt invertierbarer Ableitung. Setze
![{\displaystyle a=L/2,\;b=\|F'(x_{0})^{-1}\|^{-1},\;c=\|F(x_{0})\|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/764507385c7daffed54391bb48846d1dcafb2f06)
und betrachte das Polynom
. Es stellt sich heraus, dass die Nullstellen dieses Polynoms und, sofern diese reell sind, die Newton-Iteration zu p mit
, das Newton-Verfahren zu F mit Startpunkt
kontrollieren. Die Nullstellen von p sind
mit ![{\displaystyle \gamma =2ab^{-2}c.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a820e0ff8ee85d9646374c9fe09ef844b3c2832)
Diese sind reell wenn
.
Diese Bedingung kombiniert die Forderung, dass der Startpunkt der Iteration selbst schon genügend kleine Funktionswerte haben muss, mit der Forderung, dass die Jacobi-Matrix im Startpunkt
nicht allzu singulär ist.
Für das quadratische Polynom konstruiert man nun die Folge der Newton-Iteration, welche im Nullpunkt startet,
und
.
Dies ist eine monoton gegen die kleinere Nullstelle
konvergente Folge. Man kann diese explizit bestimmen, indem man die Quotienten
, mit welcher umgekehrt
gilt,
betrachtet und für diese die Rekursionsgleichung
![{\displaystyle \theta _{k+1}=\theta _{k}^{2}\implies \theta _{k}=\theta _{0}^{2^{k}}=\left({\frac {1-{\sqrt {1-2\gamma }}}{1+{\sqrt {1-2\gamma }}}}\right)^{2^{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f20284f84301b48dfdda6d32ce50f20f3cc5cb9)
feststellt.
Für die Newton-Iteration zu F ergibt sich daraus:
ist invertierbar für alle
und es gilt
![{\displaystyle \|F'(x)^{-1}\|\leq (b-2a\|x-x_{0}\|)^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc14659732e76086df71b801a27f203b62bdd9c7)
- Ist
, dann konvergiert das Newton-Verfahren mit Startpunkt
und
.
- gegen einen Punkt
im Abschluss dieser Kugel. Mehr noch, es gelten
und
![{\displaystyle \|x^{*}-x_{k}\|\leq t^{*}-t_{k}={\frac {\theta _{k}}{1-\theta _{k}}}(t^{**}-t^{*})\leq {\frac {1}{2^{k}}}\cdot {\frac {\theta _{k-1}}{1+\theta _{k-1}}}\cdot t^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38ff3221d74f922f12571c30601c76544045cc96)
- wobei beide Abschätzungen die quadratische Konvergenz für
, d.h.
, und die zweite Abschätzung die lineare Konvergenz im Grenzfall
ergeben.
- F hat keine weitere Nullstelle im Bereich
![{\displaystyle D_{0}\cap B(x_{0},t^{\ast \ast }).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef613d85bf81d46dfaa2d3e050b41c82a6a49711)
Irgendwann kommt das in den Artikel, ich bin mir nicht sicher, ob als Ersatz der bisherigen Ausführungen oder als genauere Verallgemeinerung.--LutzL 11:37, 17. Jun. 2009 (CEST)Beantworten