Diskussion:Satz von Kantorowitsch

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Letzter Kommentar: vor 15 Jahren von LutzL in Abschnitt Genauere Originalaussage nach Ortega
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Genauere Originalaussage nach Ortega

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Der Artikel enthält eine vereinfachte Version der ursprünglichen Aussage. Das kam, da ich in den zur Verfügung stehenden Büchern keinen sinnvollen Beweis fand. Nun ist mir das 3-Seiten-Paper "J. M. Ortega: The Newton-Kantorovich Theorem, Amer. Math. Monthly 75 (1968)" in die Hände gefallen, in der die schärfere Aussage auf einfache Weise angegeben ist.

Seien Banachräume, ein Gebiet, , F auf einer konvexen offenen Teilmenge differenzierbar mit Lipschitz-stetiger Ableitung,

.

Operatornormen sind von den Banachraumnormen induziert.

Fixiere ein mit beschränkt invertierbarer Ableitung. Setze

und betrachte das Polynom . Es stellt sich heraus, dass die Nullstellen dieses Polynoms und, sofern diese reell sind, die Newton-Iteration zu p mit , das Newton-Verfahren zu F mit Startpunkt kontrollieren. Die Nullstellen von p sind

mit

Diese sind reell wenn

.

Diese Bedingung kombiniert die Forderung, dass der Startpunkt der Iteration selbst schon genügend kleine Funktionswerte haben muss, mit der Forderung, dass die Jacobi-Matrix im Startpunkt nicht allzu singulär ist.

Für das quadratische Polynom konstruiert man nun die Folge der Newton-Iteration, welche im Nullpunkt startet,

und .

Dies ist eine monoton gegen die kleinere Nullstelle konvergente Folge. Man kann diese explizit bestimmen, indem man die Quotienten

, mit welcher umgekehrt gilt,

betrachtet und für diese die Rekursionsgleichung

feststellt.

Für die Newton-Iteration zu F ergibt sich daraus:

  1. ist invertierbar für alle und es gilt
  2. Ist , dann konvergiert das Newton-Verfahren mit Startpunkt und
    .
    gegen einen Punkt im Abschluss dieser Kugel. Mehr noch, es gelten
    und
    wobei beide Abschätzungen die quadratische Konvergenz für , d.h. , und die zweite Abschätzung die lineare Konvergenz im Grenzfall ergeben.
  3. F hat keine weitere Nullstelle im Bereich

Irgendwann kommt das in den Artikel, ich bin mir nicht sicher, ob als Ersatz der bisherigen Ausführungen oder als genauere Verallgemeinerung.--LutzL 11:37, 17. Jun. 2009 (CEST)Beantworten