Diskussion:Spektralmaß

In der Definition müsste es Messraum und nicht Maßraum heißen, denn wir haben hier nur ein Tupel von Menge und Sigma-algebra, das Problem ist das der link zu Messraum auf Maßtheorie führt von wo man die Definition eines Messraumes erst umständlich suchen muss, wohingegen der Link auf Maßraum sofort zur definition von Maß-und Messraum führt. Da ich keine ahnung habe wie man den link ander leitn kann habe ich das nicht geändert. Die Aussage ist aber dennoch unscharf, da wir auf der Betrachteten Menge noch kein Maß definiert haben und damit eben nur einen Mess und keinen Maßraum.

Weiss irgendjemand ob die Aussage im Abschnitt Spektralmaß vs. Spektralschar E_\lambda≤E_\mu überhaupt einen Sinn macht? Wie ist hier die Ordinalrelation definiert?

An den unbekannten Schreiber zunächst einmal einen Dank dafür, dass er den kleinen Schnitzer mit dem Mess- bzw. Maßraum entdeckt hat. Ich habe die Sache nun korrigiert; der Link Messraum führt jetzt auf auch die Definition von Messraum im Oberartikel Maßraum.

Die Aussage E_\lambda≤E_\mu macht einen Sinn, wenn man weiß, dass die Relation ≤ hier die Ordnungsrelation zwischen positiven Operatoren bezeichnet. Das heißt im Einzelnen: Der selbstadjungierte Operator A auf einem Hilbertraum H ist positiv (in Zeichen: A>=0), wenn <Ax,x>>=0 für alle Elemente x des Hilbertraumes H gilt. Sind A und B selbstadjungiert, so ist A>=B die Abkürzung für A-B>=0, also dafür, dass A-B positiv im genannten Sinne ist. Das sind wohlbekannte Tatsachen, was meint, das man sie in jedem Buch über Hilbertraumtheorie / Funktionalanalysis (jedenfalls jedem das über die einfachen Anfänge hinaus geht) widerfindet. Eben nur, dass es bei der Wikipedia bis jetzt keinen entsprechenden Artikel gibt, so dass ich gezwungen war hier eine kleine Lücke zu lassen. Ich hoffe aber, dass ich zu einem späteren Zeitpunkt einen entsprechenden Artikel anlegen und im vorliegenden Artikel einen Link dazu anbringen kann. Ebenfalls fehlt der deutschen Wikipedia ein Artikel über unbeschränkte Operatoren etc. Es ist also noch viel zu tun...

--DreamingInRed 16:52, 11. Jul. 2007 (CEST)

Aufbau des Literaturverzeichnisses

Es ist keineswegs unüblich Literaturquellen mit Bemerkungen zu versehen. Dies dient u.a. einer schnelleren Orientierung. Meine Bitte wäre daher, dass dies nicht, so wie zuletzt, geändert wird. Der Abschnitt Spektralmaße in der Stochastik muss erst noch verfaßt werden. Die Abschnittsüberschrift zu löschen führt aber eher dazu, dass dies nie geschiedt, da es so höchstens in Vergessenheit gerät. --DreamingInRed 13:58, 3. Aug. 2007 (CEST)

Ursprung

Der Abschnitt "Ursprung" wirkt ein wenig unmotiviert, halbfertig und ohne Jahreszahlangaben auch wenig hilfreich. Mein Vorschlag wäre, diesen Abschnitt entweder mit historischen Bemerkungen anzureichern oder ihn ganz in die "Literatur" aufgehen zu lassen. Dabei würde ich die erste Variante bevorzugen.--FerdiBf 14:57, 9. Jan. 2010 (CET)

Das Punktspektrum ist abzählbar..

..wird im Abschnitt über unbeschränkte, selbstadjungierte Operatoren behauptet. Ist das so? In der Quantenmechanik selbst glaube ich das ja gerne, da ist der Hilbertraum separabel und damit kann es höchstens abzählbar viele λ mit nicht verschwindenden Spektralprojektoren $E_{\{\lambda \}}$ geben. Aber wenn ich mir z.B. den Multiplikationsoperator x(t) → tx(t) auf $\ell ^{2}(\mathbb {R} )$ anschaue (also dem L² mit Zählmaß) sollte der auf einer passenden Domain selbstadjungiert sein aber die ganze reelle Achse liegt im Punktspektrum. Mache ich hier einen Denkfehler - ist ja kein sonderlich üblicher Hilbertraum, vielleicht hat der keine selbstadjungierte Erweiterung - oder ist die Behauptung falsch? -- Pberndt _(DS) 17:25, 10. Feb. 2011 (CET)

In diesem Artikel wird Punktspektrum gar nicht definiert (das ist schon mal schlecht). Im Artikel Spektrum wird die korrekte Definition gegeben. Demnach besteht das Punktsprektrum aus Eigenwerten. Diese müssen i.A. nicht isoliert liegen, der adjungierte Operator zum Shift-Operator ist ein Beispiel, allerdings nicht selbstadjungiert. Für selbstadjungierte Operatoren auf einem separablen Hilbertraum kann es höchstens abzählbar viele Eigenwerte geben, da die zugehörigen Eigenräume paarweise orthogonal stehen müssen. $L^{2}(\mathbb {R} )$ ist so ein separabler Hilbertraum. Das beantwortrt Deine Frage. Der oben genannte Ortsoperator (Multiplikationsoperator) ist ein ganz schlechtes Beispiel, denn der hat gar keine Eigenfunktionen. Dieser physikalische Absatz muss wohl noch ein wenig überarbeitet werden; vielleicht kümmere ich mich demnächst darum.--FerdiBf 20:59, 10. Feb. 2011 (CET)

Im Artikel Spektrum_(Operatortheorie)#Unbeschr.C3.A4nkte_Operatoren.3B_Spektralzerlegung steht die gleiche Aussage nochmal. --Christian1985 (Diskussion) 21:05, 10. Feb. 2011 (CET)

Das habe ich schon bedacht, deshalb habe ich ja auch $\ell ^{2}(\mathbb {R} )$ geschrieben statt $L^{2}(\mathbb {R} )$. Ich meine tatsächlich den Folgenraum, indiziert über eine überabzählbare Menge. Dieser Raum ist vermutlich nicht separabel. Warum der Shift kein Beispiel ist, hast Du ja schon selbst geschrieben.. -- Pberndt _(DS) 22:08, 10. Feb. 2011 (CET)

$\ell ^{2}(\mathbb {R} )$ ist tatsächlich nicht separabel, aber solche Räume treten meines Wissens nicht in der QM auf.--FerdiBf 20:54, 11. Feb. 2011 (CET)

Habe ich doch im ersten Beitrag schon geschrieben: In der QM glaube ich das ja auch alles, weil dort ja eine der Grundannahmen die Separabilität ist. Im Artikel steht aber nichts von dieser Annahme; dort steht, dass alle selbstadjungierten Hilbertraumoperatoren abzählbares Punktspektrum haben. Und das ist denke ich falsch. -- Pberndt _(DS) 21:01, 11. Feb. 2011 (CET)

Ich habe wohl auf der Leitung gesessen und gar nicht erkannt, wo das Problem liegt. Du hast natürlich völlig recht, daher habe ich im Artikel die erforderliche Separabilität ergänzt.--FerdiBf 21:13, 11. Feb. 2011 (CET)

Konvergenz der Reihe in der alternativen Definition

Sollte bei der alternativen Definition nicht noch erwähnt werden, dass die Reihe unbedingt konvergieren muss, da in der Vereinigung die Reihenfolge keine Rolle spielt? --138.232.64.45 16:49, 11. Jul. 2017 (CEST)