Diskussion:Youngsche Ungleichung (Produkt)

Unvollständig

Die en:-Wiki sieht informativer aus und hat sowas wie eine Einleitung. Ausserdem: Wer ist oder war dieser Young? Der da? --DonLeone ^Pub! 16:24, 28. Jul 2005 (CEST)

Beweis?

Soll in der wiki generell ein Beweis für solche mathematischen Sachverhalte angebracht werden oder gehört das nicht dazu?

Generell: nein. Eine Skizze: wenn sich sich in wenigen Worten beschreiben lässt, ja. Ansonsten gibt es für erwähnenswerte Beweise das b:Beweisarchiv.--Gunther 19:41, 14. Feb 2006 (CET)

Bild

Der Sachverhalt lässt sich leicht mit einem Bild darstellen. Stellt man das Schaubild von $\phi$ in einem Koordinatensystem dar, so kann man das erste Integral durch die Fläche unterhalb des Graphen, zwischen Graph, x-Achse und der senkrechten Geraden x = a darstellen, das zweite als den Flächeninhalt der Fläche zwischen y-Achse, Graph der Funktion und der horizontalen Geraden y = b. Das Rechteck mit den Seiten a und b ist offensichtlich in der Vereinigung der beiden Flächen enthalten und Gleichheit gilt offensichtlich genau dann, wenn $\phi (a)=b$ ist.

Könnte jemand, der sich mit so etwas auskennt, so ein Bild nachliefern? --Digamma 19:49, 17. Nov. 2007 (CET)

Erst durch deinen Diskussionsbeitrag hab ich begriffen, was für ein einfacher Sachverhalt hier beschrieben wird. So ein Bild kann ich liefern, kein Problem, aber damit ist es doch nicht getan! Es muss doch auch im Text mal jemand formulieren, um was es eigentlich geht. So ist der Artikel keinesfalls enzyklopädiegerecht! – Und 70% von dem formalen Brimborium kann raus, was muss man die Leute mit 8 (acht!) liegenden 8ten erschrecken, das ganz geht doch auch in einem Intervall, und auch das muss in einer Enzykolpädie nur am Rande erwähnt werden (oder liege ich da etwa falsch?) -- Peter Steinberg 00:06, 23. Nov. 2007 (CET)

Ich schmeiß mal als Anfang einen Teil der liegenden Achten raus. Aber ist es einfacher, wenn die Funktion auf einem Intervall statt auf $\mathbb {R} _{\geq 0}$ definiert ist? Mir geht es so, dass ich den Sachverhalt nur verstanden habe, weil er so allgemein formuliert wurde. Als Anwendung kenne ich nur den genannten Spezialfall mit der Wurzel- bzw. Potenzfunktion. Worum es geht, das ist wohl eben nicht der an sich einfache Sachverhalt, sondern seine Anwendung für die Abschätzung von Produkten und die Hölderungleichung. Ich denke, mit dem Bild kann man auch das "formale Brimborium" verstehen. --Digamma 15:57, 23. Nov. 2007 (CET)

Das ist jetzt sehr viel besser! (Ein Glück, dass ich meine Zeichnung noch nicht mit dem blöden φ beschriftet habe.) -- Peter Steinberg 17:04, 23. Nov. 2007 (CET)

(Bild eingefügt). So, nun halte ich das im Kern für einen richtig schönen, enzyklopädiegerechten Artikel. Dass $\mathbb {R} _{\geq 0}$ statt einem Intervall verwendet wird, finde ich o.k. Mich hatte das viele „∞“ halt gestört, weil der Satz doch überhaupt nichts mit Grenzwerten zu tun hat. Offenbar funktioniert die Geschichte doch auch, wenn sich alles statt in $\mathbb {R} _{\geq 0}\times \mathbb {R} _{\geq 0}$ in einem geeignetem Teil-Rechteck hiervon abspielt. Aber das ist eine Verallgemeinerung, die hier besser nicht rein sollte. -- Peter Steinberg 00:50, 24. Nov. 2007 (CET)

Super, das Bild! --Digamma 16:11, 25. Nov. 2007 (CET)

weitere Verbesserungsvorschläge

Die Einleitung und die Abschnitte ab „2.“ sind mir noch ein bisschen weniger klar. Vor allem der Satz: „Oft bezeichnet man als youngsche Ungleichung den folgenden Spezialfall, welcher beispielsweise[(?)] benutzt wird, um die höldersche Ungleichung zu beweisen“ entzieht sich weitgehend meinen Annäherungsversuchen. Sollte vielleicht ungefähr folgendes gemeint sein: „Wenn man ‚youngesche Ungleichung‘ sagt, meint man oft nicht das, was eben dargestellt wurde, sondern folgenden Spezialfall (…). Im Gegensatz zu dem, was in der Einleitung gesagt wurde, braucht man nur ihn, um die Hölder-Ungleichung zu beweisen.“? – Das ließe sich aber vermutlich viel klarer ausdrücken! -- Peter Steinberg 00:50, 24. Nov. 2007 (CET)

Es gibt eine dreifache Benennung der youngschen Ungleichung:

• Allgemeine Version
• Spezielle Version
• Skalierte spezielle Version

Alle drei Versionen werden in der Literatur unterschiedslos als "youngsche Ungleichung" bezeichnet.

Mir ist bis heute keine einzige sinnvolle Anwendung bekannt, in der man die allgemeine Version braucht, aber die spezielle nicht funktioniert. Hingegen habe ich unzählige Anwendungen der skalierten speziellen Version gesehen (passiert eigentlich ständig beispielsweise in PDEs).

Also um's klarer zu stellen: Young braucht man permanent in vielen Bereichen, wie z.B. Differentialgleichungen (gewöhnlich, partiell). Aber eine der einfachsten und ersten Anwendungen, die jemand sieht, der die youngsche Ungleichung kennen lernt, ist der Beweis der Hölder-Ungleichung. [Man lernt ja einen Satz nicht durch Auswendiglernen, sondern durch Anwenden.] So wird eine Fundamentalungleichung (Hölder) durch eine fast triviale Anwendung der youngschen Ungleichung hergeleitet, und das ist schon eine Erwähnung wert. --Tolentino 11:41, 26. Nov. 2007 (CET)

Für mich gibt es nur einen Grund, die allgemeine Form mit aufzunehmen: Anhand des Bilds ist die Aussage praktisch offensichtlich. Bei Anwendungen ist mir auch nur die spezielle Version begegnet. --Digamma 11:52, 26. Nov. 2007 (CET)

Umfeld

Die Bedeutung der verlinkten Ungleichungen ist für den (von mir so gern als Zeugen aufgerufenen) interessierten Laien ebenfalls sehr undurchsichtig. Aber das ist ein weites (Um)feld… -- Peter Steinberg 00:50, 24. Nov. 2007 (CET)

Beweis

Meines Wissens soll die Wikipedia keine Beweissammlung sein. Ich sehe deshalb keinen Sinn darin, hier einen Beweis für die allgemeine Form der youngschen Ungleichung einzufügen.

Außerdem glaube ich, dass der Beweis viel zu kompliziert ist. Ein Beweis ergibt sich unmittelbar aus dem Bild. Wenn man das formalisieren möchte, dann ersetze man die Flächeninhalte durch Doppelintegrale.

Ziel unserer Überarbeitung war, den Artikel lesbarer zu machen. Du tust das Gegenteil. --Digamma 16:52, 26. Nov. 2007 (CET)

Den Beweis sollte man wohl eher ins Beweisarchiv auslagern, das werde ich dann demnächst tun. Dass der Artikel dadurch aber unleserlicher wird, kann ich zwar nicht nachvollziehen (wer einen Beweis lesen möchte, liest ihn [und da muss man nun mal Mathematik für können] - wer ihn nicht lesen will, überspringt ihn), aber sei's drum. Wie machst du das formal mit dem Doppelintegral? Das würde mich noch interessieren. Und dann stellt sich noch heraus, ob's dann wirklich einfacher ist - ein Bild ist ja bekanntlich kein Beweis. --Tolentino 10:20, 27. Nov. 2007 (CET)

Sorry für den harrschen Ton neulich. Ich hatte gesehen, dass Du "positive a und b" in "a, b \ge 0" umgewandelt hast, und hatte befürchtet, dass Du nun alles wieder formalisieren wolltest.

Zum Beweis: Das Bild an sich ist natürlich kein Beweis, aber es gibt natürlich schon geometrische Beweise. Hier scheint mir der Beweis so offensichtlich, dass ich mich tatsächlich begnügen würde mit "Siehe!". Kurze Skizze des Beweises:

Das linke Integral gibt den Flächeninhalt der Fläche unter der Kurve an (zwischen x = 0 und x = a), der zweite den Flächeninhalt der Fläche über der Kurve (zwischen y = 0 und y = b). Wenn man das erste akzeptiert, dann kann man die zweite Aussage bekommen, indem man die ganze Situation an der Winkelhalbierenden spiegelt, also x und y vertauscht. Der Graph der Funktion f wird dabei zum Graph der Funktion f^{-1}. Das ist alles vielleicht nicht ganz offensichtlich, aber jedenfalls bekannt. Die beiden Flächen zusammen enthalten das Rechteck mit den Eckpunkten (0|0), (a,0) und (0|b). Daraus folgt die Behauptung. Wenn Dir Details zu ungenau sind, dann kann ich die gerne erläutern. Alle Argumente sind einfacher, als einen Approximationssatz aufzufahren oder Substitutions- und Produktregel für die Integration.

Das Doppelintegral taucht auf, wenn man nachweisen möchte, dass das Integral der Funktion f tatsächlich den Flächeninhalt der Fläche unter dem Graph ergibt. --Digamma 15:56, 27. Nov. 2007 (CET)

Der Beweis, den ich geschrieben hatte, war nur der erstbeste, der mir einfiel. Das mit dem Approximieren war schon ein bisschen ärgerlich...

Nicht, dass du mich falsch verstehst. Natürlich habe ich den Sinn des Bildes und die Beweisskizze verstanden. Eine saubere Formalisierung würde in etwa so aussehen:

$\int _{0}^{a}f(x){\rm {d}}x=\lambda ^{2}(M_{1}),\int _{0}^{b}f^{-1}(x){\rm {d}}x=\lambda ^{2}(M_{2})$

mit

$M_{1}:=\{(x,y)\ |\ x\in [0,a]\ ,\ y\in [0,f(x)]\}$

und

$M_{2}:=\{(x,y)\ |\ x\in [0,b]\ ,\ y\in [0,f^{-1}(x)]\}=\{(x,y)\ |\ x\in [0,b]\ ,\ f(y)\in [0,x]\}$.

Die Spiegelungsinvarianz des Lebesgue-Maßes impliziert

$\ \lambda ^{2}(M_{2})=\lambda ^{2}(N_{2})$ mit $N_{2}:=\{(x,y)\ |\ y\in [0,b]\ ,\ 0\leq f(x)\leq y\}$,

worin $M_{1}\cap N_{2}$ eine Nullmenge ist. Nun gilt

$[0,a]\times [0,b]=(M_{1}\cup N_{2})\setminus (M_{3}\cup M_{4})$

mit

$M_{3}=\{(x,y)\ |\ x\in [0,a]\ ,\ y\in (b,f(x)]\}\ ,\ M_{4}:=\{(x,y)\ |\ y\in [0,b]\ ,\ x\in (a,f^{-1}(y)]\}$,

wobei $M_{3}\cap M_{4}$ eine Nullmenge ist. Daraus folgt

$ab=\lambda ^{2}([0,a]\times [0,b])=\int _{0}^{a}f(x){\rm {d}}x+\int _{0}^{b}f^{-1}(x){\rm {d}}x-\lambda ^{2}(M_{3})-\lambda ^{2}(M_{4})$.

Jetzt muss man noch nachprüfen, dass $\lambda ^{2}(M_{3})=\lambda ^{2}(M_{4})=0$ dann und nur dann, wenn $\ f(a)=b$ ist.

Was ich damit auch sagen will, so kurz und simpel wird der Beweis nicht. Bei $[0,a]\times [0,b]=(M_{1}\cup N_{2})\setminus (M_{3}\cup M_{4})$ ist sicher noch was zu zeigen. Und mal von den Nullmengen abgesehen, brauche ich ja noch die Additivität des 2-dimensionalen Flächenmaßes. Klar ist die total anschaulich, nur ist sie mathematisch nichttrivial (insbesondere ob der Existenz nicht-messbarer Mengen...). Und da sind elementarere Beweise dann sicher nicht mehr zu verachten (der auf Planet-Math ist sicher noch schöner mit der Konvexität). --Tolentino 16:57, 27. Nov. 2007 (CET)

Einleitung umfomuliert

Aufgrund von Tolentinos Anmerkungen vom 26. November habe ich es mal unternommen, die Einleitung neu zu formulieren und den Rest dem ein bisschen anzupassen. Weil ich aber von der Sache keine Ahnung habe, müsstet ihr unbedingt kontrollieren, ob ich nichts falsch verstanden habe. -- Peter Steinberg 14:25, 30. Nov. 2007 (CET)

Sieht super aus. --Tolentino 08:21, 1. Dez. 2007 (CET)

Viele Ungleichungen die nach Young benannt sind

Es gibt viele verschiedene Ungleichungen die nach Young benannt sind. So führt der englische Artikel noch die Ungleichung für Faltung, die in der deutschen Wikipedia hier steht. Gibts es dazu nicht auch noch eine Variante bei der drei Funktionen gefaltet werden? Dann habe ich gerade eine Ungleichung gefunden, die nach Young benannt ist und ein Kriterium liefert, ob ein Integraloperator $T:L^{p}\to L^{q}$ stetig ist. In wie weit diese Ungleichungen miteinander verwand sein mögen kann ist mir leider unklar. Aus dem Grund frage ich, ob man diese Ungleichungen auch hier abhandeln sollte oder ob diese einen eigenen Artikel bekommen sollten. Dieser würde dann aber möglicherweise recht kurz. --Christian1985 (Diskussion) 13:01, 8. Apr. 2011 (CEST)

Ich denke, dass der Faltungssatz nicht ein einfaches Korollar aus der hier dargestellten Ungleichung ist. Das ist sachlich etwas völlig anderes und gehört meines Erachtens nicht in diesen Artikel. --Tolentino 19:22, 8. Apr. 2011 (CEST)

Naja, dann wäre es nur konsequent, diese Seite in eine BKL abzuwandeln, die (vorläufig) die Einträge Youngsche Ungleichung (Produkte) (für diesen Artikel), Faltungsungleichung von Young und Hausdorff-Young-Ungleichung (die wohl ein Spezialfall der oben angesprochnen Ungleichung für Integraloperatoren ist) beinhaltet. Außerdem müsste die Einleitung angepasst werden, denn es gibt nuneinmal mehr als drei Ungleichungen die nach Young benannt sind, auch wenn in diesem Artikel eben nur diese drei dargestellt werden. --Christian1985 (Diskussion) 13:22, 10. Apr. 2011 (CEST)

Eine BKL fände ich absolut in Ordnung. --Tolentino 17:17, 10. Apr. 2011 (CEST)