Doppelte Mersenne-Zahl

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In der Zahlentheorie ist eine doppelte Mersenne-Zahl eine Zahl der Form , wobei eine natürliche Zahl und die -te Mersenne-Zahl ist.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die ersten fünf doppelten Mersenne-Zahlen sind die folgenden (Folge A077585 in OEIS):

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jede doppelte Mersenne-Zahl ist auch eine Mersenne-Zahl.

Beweis:
Sei . Dann gilt:
Somit ist die doppelte Mersenne-Zahl gleichzeitig die -te Mersenne-Zahl , was zu zeigen war.

Doppelte Mersenne-Primzahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine doppelte Mersenne-Zahl eine Primzahl, nennt man sie doppelte Mersenne-Primzahl.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die ersten vier doppelten Mersenne-Primzahlen sind die folgenden (Folge A077586 in OEIS):

Mehr als diese vier sind momentan nicht bekannt.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei mit natürlichem . Dann gilt:

ist nur dann eine Primzahl, wenn auch die Mersenne-Zahl eine Primzahl ist.

Die Umkehrung gilt nicht: Wenn eine Primzahl ist, kann eine Primzahl sein, muss es aber nicht.

Tabelle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die folgende Tabelle zeigt an, welche doppelten Mersenne-Zahlen mit prim sind, welche nicht und von welchen noch nicht einmal bekannt ist, ob es sich um Primzahlen handelt oder nicht. Dabei ist eine -stellige zusammengesetzte Zahl und ein -stelliger Restfaktor:

Anzahl der Stellen von Primzahl? Faktorisierung von
2 1 prim
3 3 prim
5 10 prim
7 39 prim
11 617 nicht prim
13 2.466 nicht prim
17 39.457 nicht prim
19 157.827 nicht prim
23 2.525.223 nicht prim
29 161.614.249 nicht prim
31 646.456.993 nicht prim
37 41.373.247.568 nicht prim unbekannt
41 661.971.961.084 nicht prim unbekannt
43 2.647.887.844.335 nicht prim unbekannt
47 42.366.205.509.364 nicht prim unbekannt
53 2.711.437.152.599.296 nicht prim unbekannt
59 173.531.977.766.354.911 nicht prim unbekannt
61 694.127.911.065.419.642 unbekannt kein Primfaktor [1][2]

Die doppelte Mersenne-Zahl ist viel zu groß, als dass man einen bekannten Primzahltest (vor allem den auf Mersenne-Zahlen zugeschnittenen Lucas-Lehmer-Test) auf sie anwenden könnte. Daher weiß man nicht einmal, ob sie zusammengesetzt ist oder nicht. Für alle anderen Primzahlen weiß man ebenfalls noch nicht, ob prim ist oder nicht. Es wird allerdings vermutet, dass es keine anderen doppelten Mersenne-Primzahlen gibt mit Ausnahme der ersten vier.[3][4]

Catalan-Mersenne-Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die folgenden rekursiv definierten Zahlen nennt man Catalan-Mersenne-Zahlen (Folge A007013 in OEIS):

Schon von weiß man nicht, ob sie prim ist oder nicht, weil sie viel zu groß ist (viel größer als , welche für bekannte Primzahltests schon viel zu groß ist; sie hat 51.217.599.719.369.681.875.006.054.625.051.616.350 Stellen). Bekannt ist lediglich, dass sie keinen Primfaktor hat. Allerdings wird vermutet, dass diese Zahl zusammengesetzt ist. Wenn aber zusammengesetzt ist, wären alle weiteren mit ebenfalls zusammengesetzt, weil schon weiter oben gezeigt wurde, dass (und ist eine doppelte Mersenne-Zahl) nur dann eine Primzahl ist, wenn auch eine Primzahl ist.[5][6]

Der Mathematiker Eugène Charles Catalan hat sich erstmalig mit diesen Zahlen beschäftigt, nachdem die Primalität von von Édouard Lucas im Jahr 1876 bewiesen wurde.[3][7] Er behauptete als erster, dass diese Zahlen bis zu einem gewissen oberen Limit allesamt prim sind und danach alle weiteren zusammengesetzt.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Menge der Catalan-Mersenne-Zahlen sind eine Teilmenge der Menge der doppelten Mersenne-Zahlen.[5] Mit anderen Worten: Jede Catalan-Mersenne-Zahl ist auch gleichzeitig eine doppelte Mersenne-Zahl.

Trivia[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Serie Futurama kommt die doppelte Mersenne-Zahl in der Folge Die Ära des Tentakels (2008) vor. Sie taucht kurz im Hintergrund auf einer Tafel in einem „elementaren Beweis der Goldbachschen Vermutung“ auf (welche in Wirklichkeit noch nicht bewiesen ist). In dieser Episode wird diese Zahl als martian prime bezeichnet.[5][8]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. MM61 – A search for a factor of 2261-1-1
  2. MM61 – A search for a factor of 2261-1-1 – Listen
  3. a b Chris K. Caldwell: Mersenne Primes: History, Theorems and Lists – Conjectures and Unsolved Problems. Prime Pages, abgerufen am 25. Dezember 2018.
  4. I. J. Good: Conjectures concerning the Mersenne numbers. Mathematics of Computation 9, 1955, S. 120–121, abgerufen am 25. Dezember 2018.
  5. a b c Eric W. Weisstein: Catalan-Mersenne Number. In: MathWorld (englisch).
  6. Landon Curt Noll: Landon Curt Noll's prime pages. Abgerufen am 26. Dezember 2018.
  7. Eugène Charles Catalan: Nouvelle correspondance mathématique – Questions proposées. Imprimeur de l'academie royale de Belgique, 1878, S. 94–96, abgerufen am 26. Dezember 2018 (französisch, Frage 92).
  8. Les mathématiques de Futurama – Grands théorèmes. Abgerufen am 26. Dezember 2018 (französisch).