Doppelte Mersenne-Zahl

In der Zahlentheorie ist eine doppelte Mersenne-Zahl eine Zahl der Form $M_{M_{n}}=2^{2^{n}-1}-1$, wobei $n\in \mathbb {N}$ eine natürliche Zahl und $M_{n}$ die $n$-te Mersenne-Zahl ist.

Beispiele

Die ersten fünf doppelten Mersenne-Zahlen sind die folgenden (Folge A077585 in OEIS):

${\begin{aligned}M_{M_{1}}&=&2^{2^{1}-1}-1&=&2^{1}-1&=&M_{1}&=&1\\M_{M_{2}}&=&2^{2^{2}-1}-1&=&2^{3}-1&=&M_{3}&=&7\\M_{M_{3}}&=&2^{2^{3}-1}-1&=&2^{7}-1&=&M_{7}&=&127\\M_{M_{4}}&=&2^{2^{4}-1}-1&=&2^{15}-1&=&M_{15}&=&32767\\M_{M_{5}}&=&2^{2^{5}-1}-1&=&2^{31}-1&=&M_{31}&=&2147483647\\\end{aligned}}$

Eigenschaften

Jede doppelte Mersenne-Zahl ist $M_{M_{n}}$ ist definitionsgemäß selbst Mersenne-Zahl, nämlich die $M_{n}$-te.

Doppelte Mersenne-Primzahlen

Ist eine doppelte Mersenne-Zahl $M_{M_{p}}$ eine Primzahl, nennt man sie doppelte Mersenne-Primzahl.

Beispiele

Die ersten vier doppelten Mersenne-Primzahlen sind die folgenden (Folge A077586 in OEIS):

${\begin{aligned}M_{M_{2}}&=&2^{2^{2}-1}-1&=&2^{3}-1&=&M_{3}&=&7\\M_{M_{3}}&=&2^{2^{3}-1}-1&=&2^{7}-1&=&M_{7}&=&127\\M_{M_{5}}&=&2^{2^{5}-1}-1&=&2^{31}-1&=&M_{31}&=&2147483647\\M_{M_{7}}&=&2^{2^{7}-1}-1&=&2^{127}-1&=&M_{127}&=&170141183460469231731687303715884105727\end{aligned}}$

Mehr als diese vier sind momentan nicht bekannt.

Eigenschaften

Sei $M_{M_{n}}=2^{2^{n}-1}-1$ mit natürlichem $n\in \mathbb {N}$. Dann gilt:

$M_{M_{n}}=2^{2^{n}-1}-1$ ist nur dann eine Primzahl, wenn auch die Mersenne-Zahl $M_{n}$ eine Primzahl ist.

Die Umkehrung gilt nicht: Wenn $M_{n}$ eine Primzahl ist, kann $M_{M_{n}}=2^{2^{n}-1}-1$ eine Primzahl sein, muss es aber nicht.

Beweis der Behauptung:

Beweis:

Zuerst wird folgender Hilfssatz bewiesen:

• Sei die Mersenne-Zahl $M_{n}:=2^{n}-1$ eine Primzahl. Dann muss auch $n$ eine Primzahl sein.

Beweis dieses Hilfssatzes:

Dieser Beweis funktioniert indirekt, er ist ein Beweis durch Widerspruch:

Angenommen, dass $n$ keine Primzahl, sondern eine zusammengesetzte Zahl ist. Dann kann man $n$ darstellen als Produkt zweier Zahlen, nämlich $n=a\cdot b$ mit $a>1$ und $b>1$. Dann gilt wegen gewissen Formeln für höhere Potenzen:

$M_{n}=2^{n}-1=2^{ab}-1=(2^{a})^{b}-1=(2^{a}-1)\cdot ((2^{a})^{b-1}+(2^{a})^{b-2}+\ldots +2^{a}+1)$

Somit hat $M_{n}=2^{n}-1$ den nichttrivialen Teiler $2^{a}-1>1$ und ist keine Primzahl.

Es wurde also gezeigt, dass wenn $n$ keine Primzahl ist, dass auch $M_{n}=2^{n}-1$ keine Primzahl ist.

Somit muss die Annahme fallengelassen werden, dass $n$ keine Primzahl ist. Nur wenn $n$ eine Primzahl ist, kann auch $M_{n}=2^{n}-1$ eine Primzahl sein. $\Box$

Nun wird bewiesen, dass die doppelte Mersenne-Zahl $M_{M_{n}}=2^{2^{n}-1}-1$ nur dann eine Primzahl ist, wenn auch die Mersenne-Zahl $M_{n}$ eine Primzahl ist:

Die doppelte Mersenne-Zahl $M_{M_{n}}$ ist auch eine Mersenne-Zahl. Somit kann man obigen Hilfssatz direkt anwenden. Es muss also ${M_{n}}$ eine Primzahl sein. $\Box$

Bleibt noch zu zeigen, dass die Umkehrung nicht gilt:

Zu zeigen: wenn $M_{p}$ eine Primzahl ist, kann $M_{M_{p}}=2^{2^{p}-1}-1$ eine Primzahl sein, muss es aber nicht.

Es reicht ein einziges Gegenbeispiel:

Sei $p=13$. Dann ist $M_{M_{13}}=2^{2^{13}-1}-1=2^{8191}-1=M_{8191}$. Diese Zahl hat aber den Primteiler $p_{1}=338193759479$. Somit ist also $M_{M_{13}}$ keine Primzahl, ein Gegenbeispiel wurde gefunden. $\Box$

Tabelle

Die folgende Tabelle zeigt an, welche doppelten Mersenne-Zahlen $M_{M_{p}}$ mit $p\in \mathbb {P}$ prim sind, welche nicht und von welchen noch nicht einmal bekannt ist, ob es sich um Primzahlen handelt oder nicht. Dabei ist $Z_{k}$ eine $k$-stellige zusammengesetzte Zahl und $R_{k}$ ein $k$-stelliger Restfaktor:

$p$	$M_{p}=2^{p}-1$	$M_{M_{p}}=2^{2^{p}-1}-1$	Anzahl der Stellen von $M_{M_{p}}$	$M_{M_{p}}$ Primzahl?	Faktorisierung von $M_{M_{p}}$
2	$M_{2}=2^{2}-1=3\in \mathbb {P}$	$M_{M_{2}}=2^{3}-1=7$	1	prim	$7$
3	$M_{3}=2^{3}-1=7\in \mathbb {P}$	$M_{M_{3}}=2^{7}-1=127$	3	prim	$127$
5	$M_{5}=2^{5}-1=31\in \mathbb {P}$	$M_{M_{5}}=2^{31}-1=2147483647$	10	prim	$2147483647$
7	$M_{7}=2^{7}-1=127\in \mathbb {P}$	$M_{M_{7}}=2^{127}-1$	39	prim	$170141183460469231731687303715884105727$
11	$M_{11}=2^{11}-1=2047\not \in \mathbb {P}$	$M_{M_{11}}=2^{2047}-1$	617	nicht prim	$47\cdot 131009\cdot 178481\cdot 724639\cdot 2529391927\cdot 70676429054711\cdot 618970019642690137449562111\cdot Z_{549}$
13	$M_{13}=2^{13}-1=8191\in \mathbb {P}$	$M_{M_{13}}=2^{8191}-1$	2.466	nicht prim	$338193759479\cdot 210206826754181103207028761697008013415622289\cdot Z_{2410}$
17	$M_{17}=2^{17}-1=131071\in \mathbb {P}$	$M_{M_{17}}=2^{131071}-1$	39.457	nicht prim	$231733529\cdot 64296354767\cdot Z_{39438}$
19	$M_{19}=2^{19}-1=524287\in \mathbb {P}$	$M_{M_{19}}=2^{524287}-1$	157.827	nicht prim	$62914441\cdot 5746991873407\cdot 2106734551102073202633922471\cdot 824271579602877114508714150039\cdot 65997004087015989956123720407169\cdot Z_{157717}$
23	$M_{23}=2^{23}-1=8388607\not \in \mathbb {P}$	$M_{M_{23}}=2^{8388607}-1$	2.525.223	nicht prim	$2351\cdot 4513\cdot 13264529\cdot 76899609737\cdot Z_{2525198}$
29	$M_{29}=2^{29}-1=536870911\not \in \mathbb {P}$	$M_{M_{29}}=2^{536870911}-1$	161.614.249	nicht prim	$1399\cdot 2207\cdot 135607\cdot 622577\cdot 16673027617\cdot 4126110275598714647074087\cdot R_{161614196}$
31	$M_{31}=2^{31}-1=2147483647\in \mathbb {P}$	$M_{M_{31}}=2^{2147483647}-1$	646.456.993	nicht prim	$295257526626031\cdot 87054709261955177\cdot 242557615644693265201\cdot 178021379228511215367151\cdot R_{646456918}$
37	$M_{37}=2^{37}-1=137438953471\not \in \mathbb {P}$	$M_{M_{37}}=2^{137438953471}-1$	41.373.247.568	nicht prim	unbekannt
41	$M_{41}=2^{41}-1=2199023255551\not \in \mathbb {P}$	$M_{M_{41}}=2^{2199023255551}-1$	661.971.961.084	nicht prim	unbekannt
43	$M_{43}=2^{43}-1=8796093022207\not \in \mathbb {P}$	$M_{M_{43}}=2^{8796093022207}-1$	2.647.887.844.335	nicht prim	unbekannt
47	$M_{47}=2^{47}-1=140737488355327\not \in \mathbb {P}$	$M_{M_{47}}=2^{140737488355327}-1$	42.366.205.509.364	nicht prim	unbekannt
53	$M_{53}=2^{53}-1=9007199254740991\not \in \mathbb {P}$	$M_{M_{53}}=2^{9007199254740991}-1$	2.711.437.152.599.296	nicht prim	unbekannt
59	$M_{59}=2^{59}-1=576460752303423487\not \in \mathbb {P}$	$M_{M_{59}}=2^{576460752303423487}-1$	173.531.977.766.354.911	nicht prim	unbekannt
61	$M_{61}=2^{61}-1=2305843009213693951\in \mathbb {P}$	$M_{M_{61}}=2^{2305843009213693951}-1$	694.127.911.065.419.642	unbekannt	kein Primfaktor $p<4\cdot 10^{33}$

Die doppelte Mersenne-Zahl $M_{M_{61}}$ ist viel zu groß, als dass man einen bekannten Primzahltest (vor allem den auf Mersenne-Zahlen zugeschnittenen Lucas-Lehmer-Test) auf sie anwenden könnte. Daher weiß man nicht einmal, ob sie zusammengesetzt ist oder nicht. Für alle anderen Primzahlen $p>61$ weiß man ebenfalls noch nicht, ob $M_{M_{p}}$ prim ist oder nicht. Es wird allerdings vermutet, dass es keine anderen doppelten Mersenne-Primzahlen gibt mit Ausnahme der ersten vier.

Catalan-Mersenne-Zahlen

Die folgenden rekursiv definierten Zahlen nennt man Catalan-Mersenne-Zahlen (Folge A007013 in OEIS):

${\begin{aligned}C_{0}&=&2\\C_{1}&=&M(2)&=&M_{2}&=&2^{C_{0}}-1&=&2^{2}-1&=M_{2}=3\\C_{2}&=&M(M(2))&=&M_{M_{2}}&=&2^{C_{1}}-1&=&2^{2^{2}-1}-1&=M_{3}=7\\C_{3}&=&M(M(M(2)))&=&M_{M_{M_{2}}}&=&2^{C_{2}}-1&=&2^{2^{2^{2}-1}-1}-1&=M_{7}=127\\C_{4}&=&M(M(M(M(2))))&=&M_{M_{M_{M_{2}}}}&=&2^{C_{3}}-1&=&2^{2^{2^{2^{2}-1}-1}-1}-1&=M_{127}=170141183460469231731687303715884105727\\C_{5}&=&M(M(M(M(M(2)))))&=&M_{M_{M_{M_{M_{2}}}}}&=&2^{C_{4}}-1&=&2^{2^{2^{2^{2^{2}-1}-1}-1}-1}-1&=M_{170141183460469231731687303715884105727}=\ldots \\\ldots \\C_{n}&=&\ldots &=&\ldots &=&2^{C_{n-1}}-1\end{aligned}}$

Schon von $C_{5}$ weiß man nicht, ob sie prim ist oder nicht, weil sie viel zu groß ist (viel größer als $M_{M_{61}}$, welche für bekannte Primzahltests schon viel zu groß ist; sie hat 51.217.599.719.369.681.875.006.054.625.051.616.350 Stellen). Bekannt ist lediglich, dass sie keinen Primfaktor $p<5\cdot 10^{51}$ hat. Allerdings wird vermutet, dass diese Zahl $C_{5}$ zusammengesetzt ist. Wenn aber $C_{5}$ zusammengesetzt ist, wären alle weiteren $C_{n}$ mit $n\geq 6$ ebenfalls zusammengesetzt, weil schon weiter oben gezeigt wurde, dass $M_{C_{n}}$ (und $C_{n}$ ist eine doppelte Mersenne-Zahl) nur dann eine Primzahl ist, wenn auch $C_{n}$ eine Primzahl ist.

Der Mathematiker Eugène Charles Catalan hat sich erstmals mit diesen Zahlen beschäftigt, nachdem die Primalität von $M(M(M(M(2))))=M_{127}$ von Édouard Lucas im Jahr 1876 bewiesen wurde. Er behauptete als erster, dass diese Zahlen bis zu einem gewissen oberen Limit $C_{n}$ allesamt prim sind und danach alle weiteren zusammengesetzt.

Eigenschaften

Die Menge der Catalan-Mersenne-Zahlen sind eine Teilmenge der Menge der doppelten Mersenne-Zahlen. Mit anderen Worten: Jede Catalan-Mersenne-Zahl ist auch gleichzeitig eine doppelte Mersenne-Zahl.

Trivia

In der Serie Futurama kommt die doppelte Mersenne-Zahl $M_{M_{7}}$ in der Folge Die Ära des Tentakels (2008) vor. Sie taucht kurz im Hintergrund auf einer Tafel in einem „elementaren Beweis der Goldbachschen Vermutung“ auf (welche in Wirklichkeit noch nicht bewiesen ist). In dieser Episode wird diese Zahl als martian prime bezeichnet.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Double Mersenne Number. In: MathWorld (englisch).
• Eric W. Weisstein: Catalan-Mersenne Number. In: MathWorld (englisch).
• Double Mersennes Prime Search