„Elektrischer Widerstand“ – Versionsunterschied

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Versionsgeschichte interaktiv durchsuchen
[gesichtete Version][ungesichtete Version]
← Zum vorherigen VersionsunterschiedZum nächsten Versionsunterschied →
Inhalt gelöscht Inhalt hinzugefügt
VisuellWikitext
K Änderungen von 212.117.126.30 (Diskussion) rückgängig gemacht und letzte Version von Unsterblicher wiederhergestellt
AZ: Die Seite wurde geleert.
Zeile 1: Zeile 1:
{{Dieser Artikel|betrachtet Widerstand als physikalische Eigenschaft; zu dem gleichnamigen elektrischen Bauelement siehe [[Widerstand (Bauelement)]].}}

{{Infobox Physikalische Größe
|Name= Elektrischer Widerstand
|Größenart=
|Formelzeichen= R, Z, X
|Dim=
|AbgeleitetVon=
|SI= [[Ohm]] (<math>\Omega</math>)
|SI-Dimension= [[Masse (Physik)|M]]·[[Länge (Physik)|L]]<sup>2</sup>·[[Stromstärke|I]]<sup>-2</sup>·[[Zeit|T]]<sup> -3</sup>
|cgs=
|cgs-Dimension=
|esE=
|esE-Dimension=
|emE=
|emE-Dimension=
|Planck=
|Planck-Dimension=
|Astro=
|Astro-Dimension=
|Anglo=
|Anglo-Dimension=
|Anmerkungen=
|SieheAuch=
}}

Der '''elektrische Widerstand''' ist in der [[Elektrotechnik]] ein Maß dafür, welche [[elektrische Spannung]] erforderlich ist, um einen bestimmten [[Elektrischer Strom|elektrischen Strom]] durch einen elektrischen Leiter fließen zu lassen.
Als Formelzeichen für den elektrischen Widerstand wird in der Regel <math>R</math>&nbsp;– wahrscheinlich abgeleitet vom Lateinischen ''resistere'' für „widerstehen“ (evtl. vom Englischen bzw. Französischen "resistance") verwendet. Der Widerstand hat die [[Internationales Einheitensystem|SI]]-Einheit [[Ohm]], sein [[Einheitenzeichen]] ist das große [[Omega]] (<math>\Omega</math>).

Verwandt mit dem Widerstand ist der [[Spezifischer Widerstand|spezifische elektrische Widerstand]] (Formelzeichen <math>\rho</math>). Bei diesem Wert handelt es sich um eine temperaturabhängige Materialkonstante, die eine von der geometrischen Form des ausgeführten Leiters unabhängige Beschreibung der Widerstandseigenschaft ermöglicht.

== Geschichte ==

Die elektrische Ladung war seit [[Charles Augustin de Coulomb|Coulomb]] bekannt, die elektrische Spannung seit [[Alessandro Volta|Volta]] und die Wirkung des elektrischen Stromes seit [[André-Marie Ampère|Ampère]]. [[Georg Simon Ohm]] kannte die Kraftwirkung der elektrischen Spannung, deshalb konnte er Spannungen durch Kraftmessungen bestimmen. Die Stärke von Strömen konnte er anhand chemischer Prozesse quantitativ bestimmen. Man wusste, dass elektrische Ströme etwas mit der Bewegung der coulombschen Ladungen zu tun haben. Die gesetzmäßigen Zusammenhänge zwischen Spannung und Stromstärke waren unbekannt.

Erste Versuche ließen keine klaren Gesetzmäßigkeiten erkennen. Erst als Ohm <ref> Georg Simon Ohm: ''Die galvanische Kette.'' [Reprint der Ausg., [Riemann], 1827] Oekonomie-Verl. Müller im VDM, Saarbrücken 2006, ISBN 3-939962-03-1</ref> begann, einen langen und sehr dünnen stromdurchflossenen Draht auf möglichst konstanter Temperatur zu halten, erkannte er die Proportionalität zwischen Spannung <math>U</math> und Stromstärke <math>I</math> :
:<math>\quad U \sim I</math>
Diese Proportionalität zwischen Spannung und Stromstärke wird durch das von ihm formulierte und nach ihm benannte [[Ohmsches Gesetz|ohmsche Gesetz]] beschrieben:
:<math>U = R \cdot I</math>
Der von <math>U</math> und <math>I</math> unabhängige Proportionalitätsfaktor <math>R</math> ist der elektrische Widerstand.
Dieses einfach erscheinende Gesetz wurde zu einer Zeit gefunden, als es noch keine „richtigen“ [[Spannungsquelle]]n gab, geschweige denn [[Spannungsmessgerät|Spannungs-]] oder [[Strommesser]]. Zudem waren die Messungen von anderen physikalischen Effekten überlagert. Auch waren die Begriffe Spannung, Stromstärke und Widerstand noch nicht allgemein etabliert. Erst vor diesem Hintergrund kann man seine wissenschaftliche Leistung würdigen.

Ohm war aber in Deutschland kein angesehener Wissenschaftler, Professuren wurden ihm zunächst verweigert. Das änderte sich erst, als ihm zahlreiche Würdigungen aus dem Ausland zuteil wurden.

== Ohmscher Widerstand ==

Ein ohmscher Widerstand ist ein elektrischer Widerstand, dessen Widerstandswert im Idealfall unabhängig von der Spannung, der Stromstärke und der Frequenz ist. An einem solchen ohmschen Widerstand gilt das [[Ohmsches Gesetz|ohmsche Gesetz]] für beliebige Spannungen, Ströme und Frequenzen.
Wenn man die Spannung ''U'' über der Stromstärke <math>I</math> in Form eines <math>U</math>-<math>I</math>-Diagramms aufträgt, erhält man eine Ursprungsgerade, der Zusammenhang also ist direkt [[Proportionalität|proportional]]&nbsp;:
:<math>R = \frac U I = \text{const.}\ ; \quad U \sim I\ ;\quad I=\frac U R</math>

Näherungsweise und mit Einschränkungen kann ein ohmscher Widerstand durch ein Bauelement, im einfachsten Fall einen Metalldraht, realisiert werden, das üblicherweise ebenfalls einfach Widerstand – siehe [[Widerstand (Bauelement)]] − genannt wird.

Wenn Strom durch einen Widerstand fließt und Spannung daran abfällt, wird [[elektrische Leistung]] gemäß
:<math>P=U\cdot I=\frac{U^2}{R}=I^2\cdot R</math>

in Wärmeleistung umgesetzt.

Der ohmsche Widerstand wird auch als [[Gleichstrom]]widerstand bezeichnet. Sein Kehrwert, also der Proportionalitätsfaktor zwischen Stromstärke und Spannung, heißt ''elektrischer Leitwert'' <math>G</math> des Leiters. Es gilt also:
:<math>G = \frac{1}{R}\ </math>.

=== Berechnung des Widerstands eines Leiters ===
Der ohmsche Widerstand eines Körpers lässt sich aus seinen geometrischen Abmessungen und einer materialspezifischen Konstante, dem [[Spezifischer Widerstand|spezifischen Widerstand]] <math>\rho</math>, berechnen.

:[[Datei:Widerstandsformel.svg]]

Für einen in Längsrichtung durchflossenen geraden Leiter mit konstanter Querschnittsfläche <math>A</math> und der Länge <math>l</math> gilt:
:<math>R = \rho \cdot \frac{l}{A}</math>

Die Querschnittsfläche <math>A</math> berechnet sich für runde Drähte mit dem Durchmesser <math>d</math> nach der Formel:
:<math>A = d^2\cdot\frac{\pi}{4} = r^2\cdot\pi</math>

Der spezifische Widerstand selbst ist im Allgemeinen von der Temperatur und eventuell noch weiteren Größen abhängig.

=== Temperaturabhängigkeit ===
{| class="wikitable float-right" style="text-align:right"
|+ Beispiele für spezifischen Widerstand und Temperaturkoeffizient bei 20&nbsp;°C
|- class="hintergrundfarbe6"
! Material
! ρ<sub>20</sub> in (Ω·mm²)/m
! α<sub>20</sub> in 1/K
|-
| style="text-align:left" | [[Silber]] || 1,65 · 10<sup>−2</sup>
| 3,8 · 10<sup>−3</sup>
|-
| style="text-align:left" | [[Kupfer]] || 1,78 · 10<sup>−2</sup>
| 3,9 · 10<sup>−3</sup>
|-
| style="text-align:left" | [[Silizium]] || 2,3 · 10<sup>9</sup> || −7,5 · 10<sup>−2</sup>
|}

Der elektrische Widerstand eines Leiters ist im Wesentlichen von seiner Temperatur und der Frequenz der Spannung abhängig.

Die Frequenzabhängigkeit kann man leicht umgehen, wenn man Gleichstrom verwendet. Dafür wird auch der Begriff Gleichstromwiderstand verwendet. Wie oben beschrieben, berechnet sich der Gleichstromwiderstand eines geraden Leiters durch:
:<math>
R_{20}=\rho_{20} \cdot \frac{l}{A}
</math>

Dieses gilt aber nur für die Temperatur, für die der angegebene [[Spezifischer Widerstand|spezifische Widerstand]] gilt. Wenn nicht anders angegeben, gilt dieses für eine Ausgangstemperatur von 20&nbsp;°C. Darauf weist auch die 20 im Index von R hin. Die Werte sind abhängig von Reinheitsgrad und mechanischer Behandlung, und die Tabellenwerte sind nur als Richtwerte zu verstehen.

Grundsätzlich ist der Widerstand temperaturabhängig. Dieses gilt für alle Materialien.

Dieses Verhalten ist materialabhängig und wird mit dem ''Linear-[[Temperaturkoeffizient]]en'' ''α'' und der Bestimmung des Temperaturunterschieds (<math>\Delta T = T - T_0</math>) berechenbar. Im allgemeinen beschreibt man diese Änderung durch eine Linearisierung
:<math>R(T) = R(T_0)(1 + \alpha_{T_0} \cdot (T-T_0))</math>

bei
:<math>T_0 = 20\,^{\circ}\mathrm{C}.</math>

Für die meisten Materialien und Anwendungen mit nicht zu großen Temperaturbereichen reicht diese lineare Näherung aus, da die Temperaturkoeffizienten höherer Ordnungen dann vernachlässigbar klein sind.

Je nachdem, ob der Widerstandswert mit steigender Temperatur größer oder kleiner wird, unterscheidet man zwischen ''[[Kaltleiter]]n'' oder PTC (Widerstandswert steigt, prinzipiell bei allen Metallen; PTC: positive temperature coefficient) und ''[[Heißleiter]]n'' oder NTC (Widerstandswert sinkt; NTC: negative temperature coefficient).

In der Technik wird die Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes ausgenutzt, zum Beispiel beim [[Temperaturregler|Thermostaten]] und [[Widerstandsthermometer]] (Beispiel: Thermometer mit [[Pt100]]-Fühlern) oder bei [[Hitzdrahtanemometer|Thermo-Anemometern]] (Windmessgeräten).

Es gibt auch verschiedene spezielle Metall-Legierungen, die sich durch einen über weite Temperaturbereiche annähernd konstanten spezifischen elektrischen Widerstand auszeichnen, so z. B. [[Konstantan]]. → [[Messwiderstand]]

== Wechselstromwiderstand ==
=== Darstellung ===
An einem linearen, rein ohmschen Widerstand ''R'', der von Wechselstrom durchflossen wird, sind Spannung und Strom in [[Phase (Schwingung)|Phase]]. Wenn allerdings eine frequenzabhängige Phasenverschiebung und Widerstandsänderung auftritt, kommt als Anteil am Widerstand eine Komponente ''X '' hinzu, die auf Spannungs- bzw. Stromänderungen verzögernd reagiert. Bei sinusförmigem Verlauf von Spannung und Strom wird der Quotient aus den [[Amplitude]]n oder [[Effektivwert]]en als [[Scheinwiderstand]] ''Z'' bezeichnet. In der [[Komplexe Wechselstromrechnung|komplexen Wechselstromrechnung]] wird der Scheinwiderstand mit dem Phasenverschiebungswinkel <math>\varphi_z</math> als [[Impedanz]] oder komplexer Widerstand <math>\underline Z</math> zusammengefasst.
:<math> {\underline {Z}} = Z \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi_z}</math>
In einer anderen Darstellung werden die zwei Komponenten in der komplexen Ebene zueinander rechtwinklig zu <math>\underline Z</math> zusammengefasst,
:<math> {\underline {Z}} =R+ \mathrm{j}X</math>
Darin werden ''R'' als [[Wirkwiderstand]] und ''X'' als [[Blindwiderstand]] bezeichnet. Der Wirkwiderstand, welcher nicht phasenverschiebend arbeitet, wird auch als ''ohmscher Anteil'' der Impedanz bezeichnet.

=== Umrechnungen ===
Werden die Spannung <math>u\,(t)</math> und der Strom <math>i\,(t)</math> als sinusförmige Größen mit der Frequenz <math>f</math> bzw. der Kreisfrequenz <math>\omega = 2\pi f</math> in der komplexen Ebene durch Zeiger <math>\underline{u}(\omega t)</math> und <math>\underline{i\,}(\omega t)</math> dargestellt, so erhält man

:<math> {\underline {Z}} = \frac{{\underline {u}}} {{\underline {i}}}= \frac {\hat u \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t + \varphi_u)}}{\hat \imath \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t + \varphi_i)} } = Z \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\varphi_u - \varphi_i)} = Z \cdot (\cos \varphi_z + \mathrm{j} \sin \varphi_z )</math>
mit
:<math>\varphi_u - \varphi_i = \varphi_z</math>

Durch Vergleich der beiden Darstellungen von <math>\underline Z</math> erhält man
:<math>\operatorname {Re} ({\underline {Z}}) = Z \cdot \cos (\varphi_z) = R</math> ([[Wirkwiderstand]])

:<math>\operatorname {Im} ({\underline {Z}}) = Z \cdot \sin (\varphi_z) = X</math> ([[Blindwiderstand]])

[[Datei:Widerstand_Zeiger.svg|thumb| Impedanz als Zeiger in der komplexen Ebene mit ihren Komponenten]]
Es ergeben sich der ''Scheinwiderstand'':
:<math>Z = |\underline {Z}| =\frac {|\underline u|}{|\underline i|} = \frac {\hat u}{\hat \imath}= \frac {u_{\text{eff}}}{i_{\text{eff}}} </math>
:oder
:<math>Z = \sqrt{R^2 + X^2}</math>
und der ''[[Phasenverschiebung]]swinkel'' zwischen <math>\underline u</math> und <math>\underline {i\,}</math>:
:<math>\varphi_z = \arctan \left(\frac XR\right)</math>

Man bezeichnet auch
:<math>X = X_C \ </math> = kapazitiver Blindwiderstand
oder
:<math>X = X_L \ </math> = induktiver Blindwiderstand.

Wie weiter unten gezeigt wird, ist
:<math> X_L \geq 0</math> und <math> X_C \leq 0</math> .

=== Sonderfälle ===
* Für ''R'' = 0 ergibt sich:
:<math>\varphi_z = \arctan \left(\frac {X}{0}\right) </math>
:* Für ''X'' > 0 ist <math>\varphi_z=+90^\circ </math> und <math>{\underline {Z}}= \mathrm{j}Z = \mathrm{j}X</math> ;

:* für ''X'' < 0 ist <math>\varphi_z =-90^\circ </math> und <math>{\underline {Z}}= -\mathrm{j}Z = \mathrm{j}X</math>.

* Für ''X'' = 0 ergibt sich:
:<math>\varphi_z = \arctan \left(\frac 0R\right) = \arctan (0) = 0^\circ </math>
:<math>{\underline {Z}}= Z =R </math>

=== Ursachen der komplexen Widerstände ===
Bei einer Spule mit der Induktivität ''L'' gilt
:<math>u=L\ \frac{\mathrm{d} i}{\mathrm{d} t}</math>
Aufgrund einer Spannung wächst der Strom mit der Zeit an. Bei Wechselstrom folgt dieser verzögert. <br />
Mit dem Ansatz in komplexer Schreibweise <math>\underline u</math> und <math>\underline {i\,}</math> wie oben erhält man nach der Differenziation
:<math>\underline{u}=\mathrm j \omega L \cdot {\underline i}</math>


:<math>\frac{\underline u}{\underline i}= \mathrm{j} \omega L= \mathrm{j} X_L \ ;\quad X_L =\omega L\ge 0</math>
Das bedeutet, dass eine Induktivität für sinusförmige Wechselgrößen wie ein phasendrehender Blindwiderstand wirkt.
Mit <math>\mathrm j = \mathrm{e}^{\mathrm{j \pi}/2}\ </math> ergibt sich <math>\varphi_z =\mathrm{\pi}/2 =+90^\circ </math> .

Entsprechend gilt bei einem Kondensator mit der Kapazität ''C''
:<math>u=\frac1C \int i \mathrm{d} t</math>
Aufgrund eines Stromes wächst die Spannung mit der Zeit an. Bei Wechselspannung folgt diese verzögert. <br /> Man erhält in komplexer Schreibweise und nach der Integration
:<math>\underline {u} =\frac{1}{\mathrm{j} \omega C} \cdot \underline {i} </math>
:<math>\frac{\underline {u}}{\underline {i}}= \frac{1}{\mathrm{j} \omega C}= -\mathrm{j}\;\frac{1}{\omega C} =\mathrm j X_C\ ;\quad X_C= -\;\frac{1}{\omega C} \le 0</math>
Das bedeutet, dass eine Kapazität für sinusförmige Wechselgrößen wie ein phasendrehender Blindwiderstand wirkt. Hier ist <math>\varphi_z =-\pi /2=-90^\circ </math> .

=== Zusammenschaltung, Ersatzwiderstand ===
[[Datei:Widerstand_Ersatzsch.svg|thumb| Ersatzschaltbilder für Wechselstromwiderstände <br /> links: Parallelschaltung <br /> rechts: Reihenschaltung]]
Als Ersatzwiderstand wird der [[Impedanz|komplexe elektrische Widerstand]] bezeichnet, der denselben Widerstand besitzt wie eine elektrische Schaltung oder der Teil einer elektrischen Schaltung, den er ersetzt. Ein Ersatzwiderstand kann das Verhalten komplexer elektrischer Anordnungen veranschaulichen und eine Berechnung ermöglichen; siehe auch [[Ersatzschaltbild]].

Tatsächlich auftretende Wechselstromwiderstände lassen sich häufig durch Reihenschaltung oder Parallelschaltung aus einem ohmschen Widerstand mit einer Induktivität oder mit einer Kapazität beschreiben. Welches der Bilder verwendet wird, ist eine Frage der besseren Annäherung an die Wirklichkeit mit möglichst frequenzunabhängigen Größen und der Zweckmäßigkeit für die mathematische Behandlung.

Bei genauer Betrachtung hat aber auch jeder Kondensator einen kleinen induktiven Anteil, so wie eine Spule auch einen kapazitiven Anteil hat. Selbst ein Stück Draht muss exakt mit ''R'', ''C'' und ''L'' beschrieben werden; siehe auch [[Leitungsbelag]]. Dies zeigt sich im Besonderen dann, wenn die Bauteile mit ihren geometrischen Abmessungen in den Bereich der Wellenlänge der angelegten Wechselspannung kommen; dann besitzen sie einen nicht zu vernachlässigenden sowohl induktiven, als auch einen kapazitiven Anteil. Sie werden gegebenenfalls zum [[Schwingkreis]], als Beispiel sei hier die [[Antennentechnik|Antenne]] genannt. Die Enden dürfen als Kondensatorplatten gesehen werden, der „Draht“ dazwischen als Spule.
[[Datei:Ortskurve_Imp_RL.svg|thumb| Ortskurve einer RL-Reihenschaltung]]

Werden ein ohmscher Widerstand und ein Blindwiderstand zusammengeschaltet, so können in komplexer Schreibweise die weiter unten folgenden Regeln für Reihen- und Parallelschaltung angewendet werden.

Werden eine kapazitive und eine induktive Impedanz zusammengeschaltet, so entsteht ein [[Schwingkreis]]; die Reihen- und Parallelschaltung und die weiteren Konsequenzen werden unter diesem Stichwort behandelt.

=== Ortskurve ===
[[Datei:Ortskurve_Imp_RC.svg|thumb| Ortskurve einer RC-Parallelschaltung]]
Ein anschauliches Hilfsmittel zur Analyse und Beschreibung von Schaltungen mit Wechselstromwiderständen ist die [[Ortskurve (Systemtheorie)|Ortskurve]].

Komplexe Größen lassen sich durch Zeiger in der komplexen Ebene darstellen. Wenn die komplexe Größe eine Funktion eines (reellen) Parameters ist und wenn dieser Parameter variiert wird, verschiebt sich die Spitze des Zeigers. Eine Linie durch alle denkbaren Zeigerspitzen bezeichnet man als Ortskurve.

Die Bilder zeigen Ortskurven der Impedanz als Funktion der Frequenz für die angegebenen Schaltungen.

== Der elektrische Widerstand im Teilchenmodell ==

Die physikalische Beschreibung benutzt die Vorstellung, dass sich die [[Valenzelektron]]en im [[Metalle|Metall]] wie ein Gas ([[Elektronengas]]) verhalten. Im einfachsten Modell bildet das Metall ein positiv homogen geladenes Volumen, in denen sich die Elektronen frei bewegen können. In dieses Volumen sind die Atomrümpfe eingebettet, die aus dem Atomkern und den stärker gebundenen Elektronen auf den tieferen, vollbesetzten Schalen bestehen.

Ohne äußere elektrische Spannung bewegen sich die Elektronen ungeordnet im Metall (siehe: [[brownsche Bewegung]]). Legt man nun eine Spannung an die zwei Seiten an, so werden die freien Elektronen durch das [[Elektrisches Feld|elektrische Feld]] in Richtung der [[Feldlinien]] beschleunigt. Es fließt ein elektrischer Strom.

Auf ihrem Weg durch das Metall kommt es zu [[Stoß (Physik)|elastischen Stößen]] der Elektronen mit anderen Elektronen, den Atomrümpfen und [[Phonon]]en. Dabei geben die Elektronen Energie an ihre Stoßpartner ab, werden gestreut und wieder durch das elektrische Feld beschleunigt. Die Elektronen werden durch diese Wechselwirkung dauernd abgebremst und es stellt sich eine mittlere Strömungsgeschwindigkeit ein.

Die bei diesen Stößen an die Atomrümpfe beziehungsweise Phononen übertragene Energie führt zu einer größeren Eigenschwingung um ihre Gleichgewichtslage, ihre Temperatur erhöht sich. Durch die stärkeren Schwingungen erhöht sich die Querschnittsfläche für mögliche Stöße, deren Anzahl mit steigender Temperatur zunimmt und den Widerstand steigen lässt ([[Kaltleiter]]). Der Leitungsvorgang in [[Heißleiter]]n kann mit diesem Modell nicht vollständig erklärt werden, da es hier mit steigender Temperatur zu einer deutlichen Ladungsträgergeneration kommt, die den eben beschriebenen Vorgang überlagern.

Bei sehr hohen Temperaturen, bei denen die Atome des Materials ionisiert werden ([[Plasma (Physik)|Plasma]]), ist jeder Stoff elektrisch leitend, da die vorher gebundenen Elektronen nun für den Ladungstransport zur Verfügung stehen. Umgekehrt sind Metalle und Oxide bekannt, für die der elektrische Widerstand bei sehr niedrigen Temperaturen unterhalb der so genannten Sprungtemperatur verschwindet: [[Supraleiter]].

Durch die thermische Bewegung der Elektronen entsteht ein temperaturabhängiger Rauschstrom, der als [[Wärmerauschen|Widerstandsrauschen]] bezeichnet wird.

== Reihen- und Parallelschaltung ==

=== Reihenschaltung ===
Werden <math>n</math> Widerstände [[Reihenschaltung|in Reihe]] geschaltet, so addieren sich die Widerstände:
:<math>
{R_{\rm ges} = \sum_{k=1}^{n} R_k = R_1 + R_2 + \cdots + R_n = {1 \over G_1} + {1 \over G_2} + \cdots + {1 \over G_n}}
</math>

Veranschaulichen kann man sich dieses an zwei Widerständen, die sich nur in der Länge unterscheiden.

[[Datei:Widerstand_R1_plus_R2.PNG|center]]

Die Reihenschaltung ergibt einen Widerstandskörper der Länge <math>l_1+l_2</math>. Dann gilt:
:<math>
R = \rho \cdot {{l_1+l_2} \over A} = \rho \cdot {l_1 \over A} + \rho \cdot {l_2 \over A} = R_1 + R_2
</math>

=== Parallelschaltung ===
Bei der [[Parallelschaltung]] von n Widerständen addieren sich die [[Elektrischer Leitwert|Leitwerte]] beziehungsweise die reziproken Widerstände:
:<math>
{1\over R_{\rm ges}} = \sum_{k=1}^{n} {1\over R_k} = {1\over R_1} + {1\over R_2} + \cdots + {1\over R_n}
</math>

alternative Schreibweise:
:<math>
R_{\rm ges}=R_1 \Vert R_2 \Vert \cdots \Vert R_n
</math>

Formel für zwei parallele Widerstände:
:<math>
R_{\rm ges}=\frac{R_1 \cdot R_2}{R_1+R_2}
</math>

Schreibweise als Leitwerte:
:<math>
G_{\rm ges} = G_1 + G_2 + \cdots + G_n
</math>

Der Leitwert ist der Kehrwert des Widerstandes, seine SI-Einheit ist das reziproke Ohm, das auch den besonderen Namen [[Siemens (Einheit)|Siemens]] führt.

Man veranschaulicht sich diesen Zusammenhang an der Parallelschaltung zweier Widerstände, die sich nur in ihrer Querschnittsfläche <math>A</math> unterscheiden.

[[Datei:Widerstand_R1_R2_parallel.PNG|center]]

Man erhält einen Widerstand vom Gesamtquerschnitt <math>A_1+A_2</math>, also gilt:
:<math>
R = \rho \cdot { l \over {A_1 + A_2}}
</math>
und daher
:<math>
{ 1 \over R } = {{A_1 + A_2} \over {\rho \cdot l }} = {{A_1} \over {\rho \cdot l }} + {{A_2} \over {\rho \cdot l }}= {1 \over R_1} + {1 \over R_2}
</math>

Sind in einer Parallelschaltung nur Widerstände eines gleichen Wertes vorhanden,
(<math>R_n = R_1 = R_2 = \cdots</math>)
so kann der Gesamtwiderstand errechnet werden, indem man den Einzelwiderstand durch die Anzahl der Widerstände in der Schaltung dividiert:
:<math>
R_\text{ges} = \tfrac1n R_n
</math>

Dabei bezeichnet <math>R_n</math> die Werte der Einzelwiderstände und <math>n</math> deren Anzahl.

== Differentieller Widerstand ==

Bei nichtlinearen Strom-Spannungs-[[Kennlinie]]n -&nbsp;wie zum Beispiel von [[Diode]]n&nbsp;- ist der Quotient für jedes Strom-Spannungspaar unterschiedlich. In diesem Fall gilt das ohmsche Gesetz nicht und man kann nicht von einem ohmschen Widerstand <math>R</math> sprechen. Kleine Spannungsänderungen sind jedoch näherungsweise proportional zu kleinen Stromänderungen. Der Quotient aus kleiner Spannungsänderung und zugehöriger Stromänderung bei einer bestimmten Spannung wird als differentieller Widerstand <math>r</math> bezeichnet. In einem Diagramm, in dem <math>U</math> über <math>I</math> aufgetragen wird, entspricht er der Steigung der Tangente am betrachteten Punkt der Kennlinie.
:<math>
r = \frac{\mathrm{d}\,u}{\mathrm{d}i}
</math>

=== Negativer differentieller Widerstand ===
[[Datei:I-U CharacteristicTunneleDiode.png|thumb|Strom- Spannungscharakteristik einer Tunneldiode]]
Der differentielle Widerstand kann in einem Teil der Kennlinie negativ sein, so dass die Stromstärke bei steigender Spannung sinkt beziehungsweise die Stromstärke bei sinkender Spannung steigt. Im Bild ist das im Bereich ''V''<sub>P</sub>&nbsp;<&nbsp;''V''&nbsp;<&nbsp;''V''<sub>V</sub> der Fall. Ein negativer differentieller Widerstand kann zum Anregen (Entdämpfen) von Schwingkreisen oder zur Erzeugung von Kippschwingungen verwendet werden ([[Oszillator]]). Der negative differentielle Widerstand tritt zum Beispiel bei Gasentladungen oder bei Bauteilen wie [[Avalanchediode|Avalanche-]] und [[Tunneldiode]]n auf, in einfachen elektronischen Schaltungen wie der [[Lambda-Diode]], aber auch bei komplexeren Modulen wie z.&nbsp;B. Schaltnetzteilen auf der Eingangsseite.

=== Positiver differentieller Widerstand ===
Bei positiven differentiellen Widerständen nimmt der Widerstand mit zunehmender Spannung zu. Alle real existierenden Schaltungselemente besitzen in einem Teil ihrer Kennlinie, jedoch stets für sehr große Werte, einen positiven differentiellen Widerstand. Die meisten Elemente in der Schaltungstechnik besitzen einen ausschließlich positiven differentiellen Widerstand.

Beispiele: realer Widerstand, [[Diode]], [[Zener-Diode]], alle halbleitenden Keramiken.

== Supraleitung ==

Unterhalb einer spezifischen Sprungtemperatur besitzt ein supraleitfähiges Material praktisch keinen ohmschen Widerstand. Ein solches Material wird als [[Supraleiter]] bezeichnet, weil der Strom in ihm bei dieser tiefen Temperatur ohne Verluste fließt.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Resistors|Widerstand}}
* [http://www.physik.uni-muenchen.de/leifiphysik/web_ph10/materialseiten/m04_widerstand.htm Versuche und Aufgaben zum elektrischen Widerstand]

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Elektrischer Widerstand|!E]]

[[af:Elektriese weerstand]]
[[ar:مقاومة كهربائية]]
[[be-x-old:Супор]]
[[bg:Електрическо съпротивление]]
[[bn:রোধ]]
[[bs:Električni otpor]]
[[ca:Resistència elèctrica (propietat)]]
[[cs:Elektrický odpor]]
[[cy:Gwrthiant trydanol]]
[[da:Resistans]]
[[el:Ηλεκτρική αντίσταση]]
[[en:Electrical resistance]]
[[eo:Elektra rezistanco]]
[[es:Resistencia eléctrica]]
[[et:Takistus]]
[[eu:Erresistentzia elektriko]]
[[fa:مقاومت الکتریکی]]
[[fi:Resistanssi]]
[[fr:Résistance (électricité)]]
[[he:מוליכות חשמלית]]
[[hi:विद्युत प्रतिरोध]]
[[hr:Električni otpor]]
[[ht:Rezistans (kouran)]]
[[hu:Elektromos ellenállás]]
[[hy:Դիմադրություն (էլեկտրական)]]
[[id:Hambatan listrik]]
[[io:Elektra rezistiero]]
[[is:Rafmótstaða]]
[[it:Resistenza elettrica]]
[[ja:電気抵抗]]
[[ko:전기저항]]
[[lt:Elektrinė varža]]
[[lv:Elektriskā pretestība]]
[[mk:Отпор]]
[[ml:വൈദ്യുതപ്രതിരോധം]]
[[mn:Цахилгаан эсэргүүцэл]]
[[ms:Rintangan elektrik]]
[[nds:Elektrisch Wedderstand]]
[[nl:Elektrische weerstand (eigenschap)]]
[[nn:Elektrisk motstand]]
[[no:Motstand (resistans)]]
[[pl:Rezystancja]]
[[pt:Resistência elétrica]]
[[qu:Pinchikilla hark'ay]]
[[ro:Rezistență electrică]]
[[ru:Электрическое сопротивление]]
[[sh:Električni otpor]]
[[simple:Electrical resistance]]
[[sk:Elektrický odpor]]
[[sl:Električni upor]]
[[sq:Rezistenca elektrike]]
[[sr:Електрични отпор]]
[[stq:Wierstand]]
[[sv:Resistans]]
[[th:ความต้านทานไฟฟ้า]]
[[tl:Resistensiya]]
[[uk:Електричний опір]]
[[ur:برقی مزاحمت]]
[[vi:Điện trở]]
[[wo:Ndëgërlu gu mbëj]]
[[zh:电阻]]

Version vom 4. November 2010, 12:54 Uhr

Abgerufen von „https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Elektrischer_Widerstand&oldid=81097783“