Embree-Trefethen-Konstante

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Die Embree-Trefethen-Konstante ist eine mathematische Konstante. Sie ist ein Grenzkoeffizient in der Zahlentheorie und wird mit β* bezeichnet.

Für ein festes reelles β betrachte man die Rekursion

xn + 1 = xn ± β xn − 1

wobei das Vorzeichen in der Summe unabhängig für jedes n mit gleicher Wahrscheinlichkeit als '+' oder '−' gewählt wird.

Für β = 1 erhält man die zufällige Fibonacci-Folge.

Es kann gezeigt werden, dass für beliebiges β der Grenzwert

\sigma(\beta) = \lim_{n \to \infty}  \left(|x_n|^{\frac{1}{n}} \right)

fast sicher existiert. Mit anderen Worten: Die Folge verhält sich mit Wahrscheinlichkeit 1 asymptotisch exponentiell mit Basis σ(β).

Es gilt

σ < 1 für 0 < β < β* ≈ 0.70258,

also fällt die Folge der xn fast sicher asymptotisch exponentiell, und

σ > 1 für β > β*

also wachsen die Folgenglieder fast sicher asymptotisch exponentiell.

Spezielle Werte von σ sind:

Literatur[Bearbeiten]