Ende (Topologie)

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In der Mathematik sind die Enden eines topologischen Raumes anschaulich gesprochen die Zusammenhangskomponenten des "Randes im Unendlichen". Formal definiert werden sie als Äquivalenzklassen von Komplementen kompakter Mengen.

Definition[Bearbeiten]

Sei X ein (lokal zusammenhängender, zusammenhängender, lokal kompakter, Hausdorffscher) topologischer Raum.

Wir betrachten die Familie \mathcal{U} aller absteigenden Folgen

(U_1\supset U_2\supset U_3\supset\ldots)

zusammenhängender, offener Mengen mit kompaktem Rand, für die

\bigcap_{i=1}^\infty \overline{U_i}=\emptyset

gilt.

Auf \mathcal{U} definieren wir eine Äquivalenzrelation \sim durch

(U_1\supset U_2\supset U_3\supset  \ldots)\sim (V_1\supset V_2\supset V_3\supset \ldots)\Longleftrightarrow \forall n\exist k\colon V_k\subset U_n, U_k\subset V_n .

Die Äquivalenzklassen der Äquivalenzrelation \sim auf \mathcal{U} heißen Enden des topologischen Raumes X.

Als Umgebungen eines Endes werden die offenen Mengen in der jeweiligen Äquivalenzklasse bezeichnet.

Charakterisierung über Komplemente von Kompakta[Bearbeiten]

(Specker, Raymond): Ein Raum hat mindestens k Enden, wenn es eine offene Menge mit kompaktem Abschluss gibt, deren Komplement k Zusammenhangskomponenten hat.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Die Zahlengerade \R^1 hat zwei Enden.
  • Für n\ge 2 hat der \R^n ein Ende.
  • Sei M das Innere einer kompakten Mannigfaltigkeit \overline{M} mit Rand \partial\overline{M}, also M=\overline{M}-\partial\overline{M}. Dann entsprechen die Enden von M den Zusammenhangskomponenten von \partial \overline{M}.
Der Cayleygraph der freien Gruppe mit zwei Erzeugern a und b
  • Sei X der Cayley-Graph einer nichtabelschen freien Gruppe. Dann hat X unendlich viele Enden, es gibt eine Bijektion der Menge der Enden auf eine Cantormenge.
  • Nach einem Satz von Freudenthal hat der Cayley-Graph einer Gruppe entweder unendlich viele oder höchstens 2 Enden.

Literatur[Bearbeiten]

  • Hughes, Bruce; Ranicki, Andrew: Ends of complexes. Cambridge Tracts in Mathematics, 123. Cambridge University Press, Cambridge, 1996. ISBN 0-521-57625-3
  • Freudenthal, Hans: Über die Enden diskreter Räume und Gruppen. Comment. Math. Helv. 17, (1945). 1–38. online (pdf)