Ende (Topologie)

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In der Mathematik sind die Enden eines topologischen Raumes anschaulich gesprochen die Zusammenhangskomponenten des "Randes im Unendlichen". Formal definiert werden sie als Äquivalenzklassen von Komplementen kompakter Mengen.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein (lokal zusammenhängender, zusammenhängender, lokal kompakter, Hausdorffscher) topologischer Raum.

Wir betrachten die Familie aller absteigenden Folgen

zusammenhängender, offener Mengen mit kompaktem Rand, für die

gilt.

Auf definieren wir eine Äquivalenzrelation durch

.

Die Äquivalenzklassen der Äquivalenzrelation auf heißen Enden des topologischen Raumes .

Als Umgebungen eines Endes werden die offenen Mengen in der jeweiligen Äquivalenzklasse bezeichnet.

Charakterisierung über Komplemente von Kompakta[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

(Specker, Raymond): Ein Raum hat mindestens Enden, wenn es eine offene Menge mit kompaktem Abschluss gibt, deren Komplement Zusammenhangskomponenten hat.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Zahlengerade hat zwei Enden.
  • Für hat der ein Ende.
  • Sei das Innere einer kompakten Mannigfaltigkeit mit Rand , also . Dann entsprechen die Enden von den Zusammenhangskomponenten von .
Der Cayleygraph der freien Gruppe mit zwei Erzeugern a und b
  • Sei der Cayley-Graph einer nichtabelschen freien Gruppe. Dann hat unendlich viele Enden, es gibt eine Bijektion der Menge der Enden auf eine Cantormenge.
  • Nach einem Satz von Freudenthal hat der Cayley-Graph einer Gruppe entweder unendlich viele oder höchstens 2 Enden.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Hughes, Bruce; Ranicki, Andrew: Ends of complexes. Cambridge Tracts in Mathematics, 123. Cambridge University Press, Cambridge, 1996. ISBN 0-521-57625-3
  • Freudenthal, Hans: Über die Enden diskreter Räume und Gruppen. Comment. Math. Helv. 17, (1945). 1–38. online (pdf)