Erfüllbarkeitsäquivalenz

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Erfüllbarkeitsäquivalenz ist eine Eigenschaft, die zwischen zwei prädikatenlogischen Formeln gelten kann.

Zwei Formeln F und G sind genau dann erfüllbarkeitsäquivalent, wenn gilt:

F ist erfüllbar G ist erfüllbar

Oder umgekehrt:

F ist unerfüllbar G ist unerfüllbar

Die beiden Formeln brauchen nicht äquivalent zu sein und brauchen auch nicht durch dieselben Interpretationen erfüllt zu werden. Erfüllbarkeitsäquivalenz ist somit eine recht schwache Eigenschaft.

Relevant ist die Erfüllbarkeitsäquivalenz bei Nachweis der Unerfüllbarkeit einer prädikatenlogischen Formel mittels der Herbrand-Theorie. Dazu muss die Formel erst in die Skolemform umgeformt werden, die zur Ausgangsformel lediglich erfüllbarkeitsäquivalent ist.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei eine Formel (mit der Bedingung, dass sie weder eine Tautologie noch unerfüllbar ist). Dann sind die Formeln und erfüllbarkeitsäquivalent, aber nicht äquivalent.

Umformung in erfüllbarkeitsäquivalente 3-KNF Formel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zu jeder Formel in m-KNF, d.h. der Form mit also höchstens Literalen pro Disjunktion, kann in Polynomialzeit eine erfüllbarkeitsäquivalente Formel in 3-KNF konstruiert werden.

Sei dazu mit . Solange noch eine Klausel besitzt, ersetze dieses durch mit

ist dabei eine neue Variable. Jede Interpretation, die und erfüllt, erfüllt auch . Jede Interpretation, die erfüllt, kann zu einer Interpretation, welche und erfüllt umgeformt werden.