Flacher Morphismus

In der algebraischen Geometrie, insbesondere der Theorie der Schemata, ist ein flacher Morphismus ein Morphismus $f:X\to Y$ von Schemata, sodass für jeden Punkt $x\in X$ der induzierte Homomorphismus von lokalen Ringen ${\mathcal {O}}_{Y,f(x)}\to {\mathcal {O}}_{X,x}$ flach ist.

Flache Morphismen werden häufig verwendet, um geometrische Objekte in Familien zu setzen. Beispiele hierfür sind Hilbert-Schemata, reduktive Gruppenschemata und abelsche Schemata.

Formale Definition

Ein Morphismus von Schemata $f:(X,{\mathcal {O}}_{X})\to (Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ heißt flach, falls für jeden Punkt $x\in X$ der induzierte Homomorphismus von lokalen Ringen ${\mathcal {O}}_{Y,f(x)}\to {\mathcal {O}}_{X,x}$ flach ist. Das heißt, dass ${\mathcal {O}}_{X,x}$ ein flacher ${\mathcal {O}}_{Y,f(x)}$-Modul ist.

Für einen Morphismus von Schemata $f:(X,{\mathcal {O}}_{X})\to (Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ sind die folgenden Bedingungen äquivalent:

• $f$ ist flach im Sinne der in diesem Abschnitt gegebenen Definition.
• Für jede affine offene Teilmenge $U\subseteq X$ und jede affine offene Teilmenge $V\subseteq Y$ mit $f(U)\subseteq V$ ist der ${\mathcal {O}}_{Y}(V)$-Modul ${\mathcal {O}}_{X}(U)$ flach.
• Es gibt eine offene Überdeckung $Y=\bigcup \nolimits _{j\in J}V_{j}$ und offene Überdeckungen $V_{j}=\bigcup \nolimits _{i\in I_{j}}U_{i}$, sodass jede Einschränkung $f|_{U_{i}}:U_{i}\to V_{j}$ für $j\in J,i\in I_{j}$ flach im Sinne obiger Definition ist.
• Es gibt eine affine offene Überdeckung $Y=\bigcup \nolimits _{j\in J}V_{j}$ und affine offene Überdeckungen $V_{j}=\bigcup \nolimits _{i\in I_{j}}U_{i}$, sodass jeder Ringhomomorphismus ${\mathcal {O}}_{Y}(V_{j})\to {\mathcal {O}}_{X}(U_{i})$ für $j\in J,i\in I_{j}$ flach ist.

Eigenschaften

• Die Komposition zweier flacher Morphismen von Schemata ist flach.
• Ist $f:X\to Y$ ein flacher Morphismus von Schemata und $g:Z\to Y$ ein beliebiger Morphismus, so ist der Basiswechsel $X\times _{Y}Z\to Z$ flach.

Beispiele

• Ist $B\to A$ ein flacher Ringhomomorphismus, so ist der induzierte Homomorphismus affiner Schemata $X:=\mathrm {Spec} (A)\to Y:=\mathrm {Spec} (B)$ flach.
• Der Strukturmorphismus des affinen Raums $\mathbb {A} ^{n}\to \mathrm {Spec} (\mathbb {Z} )$ und des projektiven Raums $\mathbb {P} ^{n}\to \mathrm {Spec} (\mathbb {Z} )$ ist flach.
• $\mathrm {Spec} (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )\to \mathrm {Spec} (\mathbb {Z} )$ für $n\geq 2$ ist nicht flach, da $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ kein torsionsfreier $\mathbb {Z}$-Modul ist.