Homogene lineare Differentialgleichung

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Homogene lineare Differentialgleichungen sind eine wichtige Klasse linearer Differentialgleichungen. Es handelt sich um Differentialgleichungen der Form

Hierbei sind die vorgegebene Funktionen, etwa auf einem Intervall, und das hochgestellte steht für die -te Ableitung nach der Variablen . Gesucht ist eine Funktion , die obige Gleichung für alle auf einem vorgegebenen Definitionsbereich erfüllt.

Homogene lineare Differentialgleichungen erster Ordnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die homogene lineare Differentialgleichung

mit Anfangswert hat die eindeutige Lösung

Homogene lineare Differentialgleichung höherer Ordnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Konstante Koeffizienten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zu einer Differentialgleichung

mit betrachtet man ihr „charakteristisches Polynom“ . Dieses habe die Nullstellen mit zugehörigen Vielfachheiten . Dann sind alle Lösungen von der Form

mit Koeffizienten .

Allgemeiner Fall[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Durch die Substitution lässt sich die homogene lineare Differentialgleichung

in das lineare Differentialgleichungssystem

überführen. Die Lösungen dieses linearen homogenen Differentialgleichungssystems bilden einen Vektorraum. Eine Basis dieses Vektorraums wird als Fundamentalsystem bezeichnet.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Die Lösung des Anfangswertproblems ist .
  2. Die Differentialgleichung hat das charakteristische Polynom und damit die Lösungen .