Quelltext der Seite Höhe (Geometrie)

[[Datei:Hoehen.svg|gerahmt|Höhen in einem Dreieck ABC: <br /> Die Höhen <math>h_a</math> und <math>h_c</math> verlaufen außerhalb des Dreiecks, da sich bei B ein stumpfer Winkel befindet. Verlängert man diese Höhen jeweils über die zugehörigen [[Lotfußpunkt]]e L<sub>a</sub> und L<sub>c</sub> sowie die Höhe <math>h_b</math> über den Eckpunkt B hinaus, so schneiden sich alle drei Geraden im [[Höhenschnittpunkt]] H.]]

Unter einer '''Höhe''' <math>h</math> versteht man in der [[Geometrie]] ein besonderes [[Lot (Mathematik)|Lot]] (Senkrechte) auf eine [[Strecke (Geometrie)|Strecke]] oder eine [[Fläche (Mathematik)|Fläche]] sowie dessen [[Länge (Mathematik)|Länge]]. Höhen spielen bei der Berechnung von Flächen- und Rauminhalten ([[Volumen|Volumina]]) eine wichtige Rolle. Sie können auch außerhalb von [[Figur (Geometrie)|Figuren]] und [[Körper (Geometrie)|Körpern]] liegen, z.&nbsp;B. bei stumpfwinkligen [[Dreieck]]en.

== Höhen bei Dreiecken ==
Fällt man das Lot von einer Ecke auf die gegenüberliegende Dreiecksseite, so schneidet es diese Seite im [[Lotfußpunkt]]. Die Strecke zwischen Ecke und Lotfußpunkt nennt man Höhe und das von den drei Lotfußpunkten gebildete Dreieck wird auch als [[Höhenfußpunktdreieck]] bezeichnet. Jedes Dreieck besitzt genau drei Höhen. Diese schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt, dem [[Höhenschnittpunkt]]. Er liegt für spitzwinklige Dreiecke innerhalb und für stumpfwinklige Dreiecke außerhalb des Dreiecks. Beim rechtwinkligen Dreieck fällt er mit der rechtwinkligen Ecke zusammen. Die Höhen eines Dreieck sind zudem die [[Winkelhalbierende]]n seines Höhenfußpunktdreiecks. Für die Höhen <math>h_a</math>, <math>h_b</math> und <math>h_c</math> in einem Dreieck mit Seiten <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> bezeichnen im Folgenden <math>r,\, R </math> die Radien des In- und Umkreises und <math>\alpha,\, \beta,\, \gamma </math> die Innenwinkel in den Eckpunkten <math> A,\,B,\, C</math>. Zwischen den Seiten und Höhen des Dreieck besteht die folgende Beziehung:
:<math>h_a:h_b:h_c=\frac{1}{a}:\frac{1}{b}:\frac{1}{c}</math>
Über diese Verhältnisgleichung hinaus gilt genauer:
:<math>\begin{align} 
        h_a&=\frac{bc}{2R}=c\sin(\beta)=b\sin(\gamma) \\
        h_b&=\frac{ac}{2R}=c\sin(\alpha)=a\sin(\gamma) \\
        h_c&=\frac{ab}{2R}=b\sin(\alpha)=a\sin(\beta) \\
       \end{align}
</math>
Hieraus erhält man die folgende Darstellung des Produktes der drei Höhen:
:<math>h_ah_bh_c=\frac{(abc)^2}{8R^3} </math>
Zum Radius des Inkreis besteht die Beziehung:
:<math>\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}=\frac{1}{r}</math>

Bei rechtwinkligen Dreiecken spielt der [[Höhensatz|Höhensatz des Euklid]] eine große Rolle.

{{Absatz}}<!-- Synchronisierung Bild und Text-->

{| class="float-right"
|-
| [[Datei:Trapez mit Höhe.svg|mini|hochkant=1.5|Den Abstand zwischen den beiden Parallelen bezeichnet man als Höhe im [[Trapez (Geometrie)|Trapez]]]]
| [[Datei:Parallelogram measures.svg|mini|hochkant=1.2|Höhen im [[Parallelogramm]]]]
|}

== Höhe von Trapez und Parallelogramm ==
* Ein [[Trapez (Geometrie)|Trapez]] besitzt zwei gegenüberliegende Seiten, die parallel zueinander sind. Den Abstand dieser beiden Parallelen nennt man Höhe des Trapezes.
* Die Höhe eines [[Parallelogramm]]s ist der senkrechte Abstand der jeweils gegenüberliegenden Seiten.
{{Absatz}}<!-- Synchronisierung Bild und Text-->

== Höhen weiterer geometrischer Objekte ==
* Bei [[Prisma (Geometrie)|Prismen]] und [[Zylinder (Geometrie)|Zylindern]] ist die Höhe der senkrechte Abstand von Grund- und Deckfläche.
* Bei [[Pyramide (Geometrie)|Pyramiden]] und [[Kegel (Geometrie)|Kegeln]] ist die Höhe der lotrechte Abstand der Spitze von der Grundfläche.
* Auch in höherdimensionalen geometrischen Objekten, wie zum Beispiel der [[Hyperpyramide]], bezeichnet man den (senkrechten) Abstand eines Eckpunktes im n-dimensionalen Raum von einer in einer [[Hyperebene]] liegenden [[Hyperfläche]] als Höhe.

[[Datei:KreiszylinderVar.png|300px|Zylinder]]
[[Datei:Pyramide5.png|300px|Pyramide]]
[[Datei:Circular cone-de.svg|500px|Kegel]]

== Literatur ==
* Schülerduden: Mathematik I, Dudenverlag, 8. Auflage, Mannheim 2008, S. 192–193

== Weblinks ==
{{Wiktionary|Höhe}}
{{Wikiquote|Höhe}}
* {{MathWorld |id=Altitude|title=Altitude}}
* [http://www.mathematische-basteleien.de/hoehen.htm ''Höhen im Dreieck''] auf mathematische-basteleien.de
* [http://www.cut-the-knot.org/triangle/AllAboutAltitudes.shtml ''All About Altitudes''] auf cut-the-knot.org

[[Kategorie:Ebene Geometrie|Hohe (Geometrie)]]
[[Kategorie:Euklidische Geometrie|Hohe (Geometrie)]]