Kan-Komplex

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In der Algebraischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, sind Kan-Komplexe ein Hilfsmittel zur kombinatorischen Definition von Homotopiegruppen.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der violette 2-Simplex hat die schwarzen Kanten als Ränder: .

Eine simpliziale Menge ist ein Kan-Komplexe, wenn sie die Kan-Erweiterungs-Eigenschaft erfüllt:

für alle und jede -elementige Menge von -Simplizes mit für alle gibt es ein -Simplex mit für .

Homotopiegruppen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

D. M. Kan[1] gab eine kombinatorische Definition von Homotopiegruppen für Kan-Komplexe.

Beispiel: der singuläre Kettenkomplex[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein topologischer Raum und sein singulärer Kettenkomplex: die n-Simplizes von sind die stetigen Abbildungen des Standard-n-Simplexes nach .

ist ein Kan-Komplex, seine Homotopiegruppen (im Sinne von Kan) stimmen mit den Homotopiegruppen von überein.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • J. Peter May: Simplicial objects in algebraic topology. Reprint of the 1967 original. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press, Chicago, IL 1992, ISBN 0-226-51181-2.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Daniel Marinus Kan: A combinatorial definition of homotopy groups. In: Ann. of Math. (2) 67 1958, S. 282–312.