Klempnern (Mathematik)

Klempnern zweier $D^{1}$-Bündel über $S^{1}$ gibt eine 2-Mannigfaltigkeit, den punktierten Torus.

In der Mathematik ist Klempnern (engl. plumbing) eine Methode zur Konstruktion von Mannigfaltigkeiten.

Gegeben seien zwei $D^{n}$-Bündel $E_{1},E_{2}$ über $n$-dimensionalen Mannigfaltigkeiten $M_{1},M_{2}$. Man wähle in $M_{1},M_{2}$ Kreisscheiben $D_{1}^{n},D_{2}^{n}$. Über diesen sind die Bündel trivialisierbar, können also mit $D_{1}^{n}\times D_{2}^{n}$ bzw. $D_{2}^{n}\times D_{1}^{n}$ identifiziert werden. Vermittels der Abbildung $(x,y)\to (y,x)$ kann man $D_{1}^{n}\times D_{2}^{n}$ mit $D_{2}^{n}\times D_{1}^{n}$ verkleben. Den Quotientenraum bezeichnet man als die durch Klempnern der beiden Kreisscheibenbündel erhaltene Mannigfaltigkeit.

Zu einem Graphen, mit dessen Knoten jeweils Kreisscheibenbündel assoziiert sind, kann man eine geklempnerte Mannigfaltigkeit konstruieren, indem man obige Konstruktion durchführt für alle diejenigen Paare von Kreisscheibenbündeln, deren zugehörige Knoten im Graph durch eine Kante verbunden sind.

Literatur

• Dale Rolfsen: Knots and Links. Mathematical Lecture Series. 7. Berkeley, Ca.: Publish or Perish, Inc. (1976)
• John Milnor: Differentiable structures on spheres. Am. J. Math. 81, 962–972 (1959)