Krasnoselski-Genus

Der Krasnoselski-Genus ist ein Begriff aus der nicht-linearen Analysis und verallgemeinert den Dimensionsbegriff eines Vektorraumes. Der Krasnoselski-Genus eines linearen Raumes $A$ ist die kleinste natürliche Zahl $n$, für die es eine stetige ungerade Funktion der Form $f:A\to \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}$ gibt. Der Krasnoselski-Genus wurde von Mark Krasnoselski eingeführt und 1969 erschien von Charles Coffman eine äquivalente Definition.

Krasnoselski-Genus

Wir verwendenden die Definition von Coffman.

Sei

• $E$ ein Banachraum,
• ${\mathcal {A}}=\{A\subset E:A{\text{ geschlossen}},A=-A\}$ der Raum der symmetrischen abgeschlossenen Teilmengen,
• $C(A,\mathbb {R} ^{n})$ der Raum der stetigen Funktionen der Form $A\to \mathbb {R} ^{n}$.

Für ein $A\in {\mathcal {A}}$ definiere die Menge

$K_{A}=\{n\in \mathbb {N} :\exists f\in C(A,\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}),-f(x)=f(-x)\}$

dann ist der Krasnoselski-Genus von $A$

$\gamma (A)={\begin{cases}\inf K_{A}&{\text{falls }}K_{A}\neq \emptyset ,\\\infty &{\text{falls }}K_{A}=\emptyset ,\\0&{\text{falls }}A=\emptyset .\end{cases}}$

In anderen Worten ausgedrückt, falls $\gamma (A)=n$, dann existiert eine stetige ungerade Funktion $\varphi :A\to \mathbb {R} ^{n}$ so dass $0\not \in \varphi (A)$. Des Weiteren ist $n$ die kleinstmögliche Dimension, das heißt es existiert keine solche Funktion $\theta :A\to \mathbb {R} ^{d}$ mit $d<n$.

Eigenschaften

• Sei $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ eine beschränkte symmetrische Umgebung von $0$ in $\mathbb {R} ^{n}$, dann gilt für den Rand $\gamma (\partial \Omega )=n$.

• Seien $A,B\in {\mathcal {A}}$, dann gilt

1. falls ein ungerades $f\in C(A,B)$ existiert, gilt $\gamma (A)\leq \gamma (B)$,
2. falls $A\subset B$, dann gilt $\gamma (A)\leq \gamma (B)$,
3. falls ein ungerader Homöomorphismus zwischen $A$ und $B$ existiert, dann gilt $\gamma (A)=\gamma (B)$

Kombiniert man die beiden Aussagen, dann folgt sofort, falls ein ungerader Homöomorphismus zwischen $A$ und $\partial \Omega$ existiert, dann gilt $\gamma (A)=n$.

Literatur

• Michael Struwe: Variational Methods: Applications to Nonlinear Partial Differential Equations and Hamiltonian Systems. Hrsg.: Springer. Berlin, Heidelberg 2012, S. 94. 
• Vincenzo Ambrosio: Nonlinear Fractional Schrödinger Equations in R^N. Hrsg.: Springer International Publishing. Deutschland 2021.