Legendre-Filter

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Legendre-Filter, auch als Optimum-L-Filter bezeichnet, sind kontinuierliche Frequenzfilter deren Übertragungsfunktion auf den namensgebenden Legendre-Polynomen aufbaut. Legendre-Filter wurden 1958 von dem griechischen Mathematiker Athanasios Papoulis vorgestellt.[1]

Legendre-Filter stellen einen Kompromiss zwischen dem Butterworth-Filter und dem Tschebyscheff-Filter dar: Der Betragsfrequenzverlauf ist steiler als bei Butterworth-Filter und besitzt im Gegensatz zu den Tschebyscheff-Filter im Sperr- und im Durchlassbereich einen monotonen Verlauf.

Übertragungsfunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vergleich des Betragsverlaufes zwischen Butterworth-, Legendre- und Tschebyscheff-Typ-1-Filter

Der quadrierte Betragsfrequenzverlauf für die Filterordnung ist gegeben durch

mit dem modifizierten -ten Optimal-Polynom , welches sich durch die Erfüllung mehrerer spezieller Kriterien auszeichnet, die die gewünschten Eigenschaften Monotonie der Übertragungsfunktion und gleichzeitig maximale Steilheit im Sperrbereich sicherstellen. Dies sind die Nebenbedingungen[2]

und die Forderung nach monotonem Anstieg

Hauptbedingung ist die Forderung nach maximaler Steilheit im Sperrbereich, z. B. ab :

Herleitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für linear unabhängige Polynome des Grades , im einfachsten Falle , lässt sich mit indirekter Erfüllung der (Gl. 3) ein Ansatz für das gesuchte optimale Polynom bilden:

mit unbekannten Koeffizienten . Da der Integrand ein gerades Polynom ist, ist ungerade mit . Um ein gerades mit zu erhalten, bietet sich folgendes an:

Beide Ansätze erfüllen automatisch die Bedingen aus (Gl. 1) und (Gl. 3), da in (Gl. 5-2) immer positiv ist. Für die gewählten Basispolynome lässt sich beispielsweise (Gl. 5-1) auflösen und in (Gl. 2) überführen

Dies ist eine quadratische Gleichung in den Koeffizienten , die nach einem Koeffizienten, am einfachsten nach , aufgelöst werden kann. Eingesetzt in (Gl. 5-1) verbleiben noch unbekannte Koeffizienten, die in nichtlinearen Gleichungen aus den partiellen Ableitungen von (Gl. 4) gelöst werden können. Mit dem geraden Ansatz in (Gl. 5-2) ist analog zu verfahren.

Für allgemeine Polynome ist das resultierende Gleichungssystem für nur noch schwer analytisch zu lösen. Der Ansatz von (Gl. 5) legt jedoch nahe, die Legendre-Polynome der 1. Art als Basis zu verwenden, in der Erwartung, dass viele Teilintegrale verschwinden und sich die Herleitung vereinfacht. Dieses stellte Papoulis 1958 für (Gl. 5-1) in seiner ersten Arbeit[1] vor. Dazu müssen jedoch die Integralgrenzen an die Eigenschaften der Legendre-Polynome angepasst und skaliert werden, so dass sich folgende Gleichung ergibt:

Damit vereinfacht sich die (Gl. 2), beziehungsweise (Gl. 6), erheblich zu

Für erhält man so

Zur Bestimmung des Maximums in (Gl. 4) wird die partielle Ableitung von nach den noch unbekannten Koeffizienten mit benötigt:

Beachte: Für die innere Ableitung liefert nur der Summand mit dem Index einen Beitrag, weil alle andere Summanden von unabhängig sind. ist identisch mit dem Wurzelausdruck in (Gl. 9), wird aber zur einfacheren Darstellung im Weiteren wie ein konstanter Parameter mitgeführt, auf den sich die Lösung der unbekannten beziehen soll. Anschließend wird so bestimmt, dass (Gl. 8) oder (Gl. 2) erfüllt sind.

Bei der Bildung der linken Seite von (Gl. 4) ist die folgende Erkenntnis wichtig. Für alle und ergibt sich die Identität:

Damit wird (Gl. 4) zu

Notwendige Bedingung für ein Maximum ist, dass alle partiellen Ableitungen der linken Seite von (Gl. 11) nach den unbekannten Koeffizienten Null sind. Dabei ist zu berücksichtigen, dass ebenfalls von allen gemäß (Gl. 8) und (Gl. 9) abhängt

Bemerkung: Nur die zwei Summanden und sind von abhängig.

Die Summe ist nur null, wenn und alle sind, was aber ausgeschlossen ist, da dann und auch (Gl. 8) verletzt wäre. Also muss der Klammerausdruck null sein und die Lösung enthalten

Eingesetzt in (Gl. 8) ergibt sich

oder

für

Mit (Gl. 13) ergibt sich für alle Koeffizienten

Für gerade nach (Gl. 5-2) veröffentlichte Papoulis eine analoge Lösung.[3] Nach der Skalierung auf die geeigneteren Intervalgrenzen gilt dann

Analog zu der hilfreichen Identität aus (Gl. 10) gilt für gerade

Die Koeffizienten lauten:

Fazit

Als Basis für das optimale Polynom ist die Verwendung der namensgebenden Legendre-Polynome nicht zwingend notwendig. Jede andere linear unabhängige, polynomiale Basis führt zum selben Ergebnis, die analytische Herleitung ist aber wesentlich schwieriger, wenn nicht sogar unmöglich. Um die ohnehin mühsame und fehleranfällige Auflösung von (Gl. 7) und (Gl. 16) etwas zu vereinfachen, lassen sich die Nenner der respektive als Faktoren vor das Integral stellen. Das führt zu

respektive

mit

Ergebnis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Filterordnung von 1 bis 6 lauten die Optimal-Polynome des Filters:[2][4]

1
2
3
4
5
6

Weitere Polynome bis zu 10. Ordnung sind in den genannten Quellen zu finden.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. a b Athanasios Papoulis: Optimum Filters with Monotonic Response. Band 46, Nr. 3. Proceedings to the IRE, März 1958, S. 606 bis 609.
  2. a b Notes on “L” (Optimal) Filters by C. Bond, 2011. Abgerufen am 31. August 2012 (PDF; 172 kB).
  3. Athanasios Papoulis: On Monotonic Response Filters. Band 47. Proceedings to the IRE, 1959, S. 332 bis 333.
  4. Optimum “L” Filters Polynomials, Poles and Circuit Elements, 2004. Abgerufen am 31. August 2012 (PDF; 100 kB).

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Franklin F. Kuo: Network Analysis and Synthesis. 2. Auflage. Wiley, 1966, ISBN 0-471-51118-8.