Meissel-Mertens-Konstante

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Die Meissel-Mertens-Konstante (nach Ernst Meissel (1826–1895) und Franz Mertens) ist eine mathematische Konstante. Ähnlich wie die Summe der reziproken natürlichen Zahlen \sum_{k=1}^n\frac1{k} (harmonischen Reihe) wächst auch die Summe der reziproken Primzahlen \sum_{p\in \mathbb{P}}^n \frac{1}{p} unbeschränkt (hierbei beschreibt \mathbb P die Menge aller Primzahlen). D.h. beide Summen werden für zunehmende Gliederzahl n beliebig groß. Das genaue asymptotische Wachstum wird durch die beiden Grenzwerte beschrieben:

\gamma = \lim_{n \to \infty} \left(\sum_{k=1}^n\frac1{k} - \ln n\right),\qquad
           M := \lim_{n \to \infty} \left(\sum_{p\in \mathbb{P}}^n \frac{1}{p}  - \ln(\ln n) \right)

Hierbei ist \gamma die Eulersche Konstante und M die Meissel-Mertens-Konstante. Die Summe aller reziproken Primzahlen zwischen 2 und n wächst also asymptotisch so wie der verschachtelte Logarithmus \ln(\ln n)\ . Sie tritt hauptsächlich in der Zahlentheorie und Funktionentheorie auf. Es bestehen zahlreiche Zusammenhänge mit anderen mathematischen Konstanten und Reihen. Beispielsweise:

 M = \gamma + \sum_{p\in\mathbb P} \left[ \ln \left( 1 - \frac{1}{p} \right) + \frac{1}{p} \right]
 M = \gamma + \sum_{k=2}^{\infty} \frac{\mu(k)}{k} \ln\bigg(\zeta(k)\bigg)

Hierbei ist \mu(n) die Möbiusfunktion und \zeta(n) die Riemannsche Zetafunktion. Der numerische Wert der Meissel-Mertens-Konstante ist

M = 0,26149\text{ }72128\text{ }47642\text{ }78375\text{ }54268\text{ }38608\text{ }69585\text{ }90515\text{ }66648\text{ }26119\text{ }... (Folge A077761 in OEIS)

Literatur[Bearbeiten]

  • Franz Mertens: Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. 78, 1874, S. 46–62 (GDZ)

Weblinks[Bearbeiten]