Monotone Zahlenfolge

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Eine monotone Zahlenfolge ist eine spezielle Folge, bei der Anforderungen an das Wachstumsverhalten der Folge gestellt werden. Werden die Folgeglieder immer größer, so heißt die Folge eine monoton wachsende Folge oder monoton steigende Folge, werden sie immer kleiner, so heißt sie eine monoton fallende Folge. Eine Verschärfung der Anforderungen liefert dann den Begriff der streng monoton wachsenden Folge und streng monoton fallende Folge. Die Monotonie einer Folge ist ein wichtiges Mittel, um die Konvergenz von Folgen zu zeigen und lässt sich als Spezialfall einer monotonen Abbildung auffassen.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine Folge reeller Zahlen gegeben, so heißt diese Folge

  • Monoton wachsend oder monoton steigend, wenn für alle gilt, dass .
  • Streng monoton wachsend oder streng monoton steigend, wenn für alle gilt, dass .
  • Monoton fallend, wenn für alle gilt, dass .
  • Streng monoton fallend, wenn für alle gilt, dass .
  • Monoton, wenn sie entweder monoton wachsend oder monoton fallend ist.
  • Streng monoton, wenn sie entweder streng monoton wachsend oder streng monoton fallend ist.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Folge ist weder monoton wachsend noch fallend, also auch nicht monoton.
  • Die Folge ist streng monoton fallend, denn bildet man die Differenz zweier aufeinander folgender Folgenwerte , so ist diese immer echt positiv, demnach ist . Damit ist diese Folge insbesondere auch monoton fallend und damit auch monoton.
  • Die Folge ist streng monoton wachsend. Die Argumentation funktioniert genau wie oben, aber mit umgedrehtem Vorzeichen.
  • Eine Folge, die monoton wachsend, aber nicht streng monoton wachsend ist, lässt sich mittels der Gaußklammer definieren als . Da hier bereits einmal ein Wert doppelt angenommen wird, kann die Folge nicht mehr streng monoton sein. Trotzdem ist sie monoton wachsend und damit auch monoton.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Eine Folge ist genau dann eine konstante Folge, wenn sie zugleich monoton wachsend und monoton fallend ist.
  • Jede beschränkte monotone Folge konvergiert. Genauer konvergiert nach dem Monotoniekriterium eine beschränkte, monoton fallende Folge gegen das Infimum fast aller Folgeglieder; entsprechend konvergiert eine beschränkte, monoton wachsende Folge gegen das Supremum fast aller Folgeglieder. Ebenso liefert dies die Existenz von Grenzwerten für unendliche Kettenbrüche.
  • Jede Folge besitzt eine monotone Teilfolge.
  • Eine monotone Folge lässt sich auch über eine monotone Abbildung definieren. Dazu betrachtet man die beiden geordneten Mengen und . Dann ist die Folge genau dann monoton wachsend (fallend), wenn die Abbildung definiert durch monoton wachsend (fallend) ist.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]