Abrundungsfunktion und Aufrundungsfunktion

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Die Abrundungsfunktion (auch Gaußklammer, Ganzzahl-Funktion, Ganzteilfunktion oder Entier-Klammer) und die Aufrundungsfunktion sind Funktionen, die einer reellen Zahl die nächstliegende nicht größere bzw. nicht kleinere ganze Zahl zuordnen. Die Notation wurde nach Carl Friedrich Gauß benannt, der das Symbol für die Abrundungsfunktion 1808 einführte.[1] Ende des 20. Jahrhunderts verbreiteten sich auch die von Kenneth E. Iverson eingeführten Bezeichnungen und (engl. floor „Boden“) für die Gaußklammer sowie und (engl. ceiling „Decke“) für die Aufrundungsfunktion.[2] Im Deutschen bezieht sich das Wort Gaußklammer ohne weitere Zusätze meist auf die ursprüngliche von Gauß verwendete Notation.[3][4] Für die von Iverson eingeführten Varianten werden dann zur Unterscheidung die Bezeichnungen untere Gaußklammer und obere Gaußklammer verwendet.[5]

Abrundungsfunktion oder Gaußklammer[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abrundungsfunktion oder Gaußklammerfunktion

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sie ist folgendermaßen definiert:

Für eine reelle Zahl ist die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich ist:

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man beachte, dass nicht etwa gleich ist. Die Definition verlangt ja , und es ist .

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Für alle gilt
    .
  • Es gilt immer . Dabei ist genau dann, wenn eine ganze Zahl ist.
  • Für jede ganze Zahl und jede reelle Zahl gilt
    .
  • Für alle reellen Zahlen gilt
    .
  • Für jede ganze Zahl und jede natürliche Zahl gilt
    .
  • Die Abrundungsfunktion ist idempotent: Es gilt
    .
  • Sind und teilerfremde natürliche Zahlen, dann gilt
    .
  • Für nichtganze reelle konvergiert die Fourierreihe der -periodischen Funktion , und es gilt
    .
  • Sind und , so gilt
.
Daraus folgt direkt, dass, falls ,
.
Ferner gilt auch
.

Aufrundungsfunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aufrundungsfunktion

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sie ist so definiert:

Für eine reelle Zahl ist die kleinste ganze Zahl, die größer oder gleich ist.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Es gilt analog
  • Sind und , so gilt
.
Daraus folgt direkt, dass, falls ,
.

Allgemeine Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gaußklammer und Dezimalstellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gilt für positive Zahlen:

Die Funktion liefert dabei den Nachkommaanteil mit .

Zusammenhänge zwischen Auf- und Abrundungsfunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Es ist stets
Deshalb erhält man die Aufrundungsfunktion aus der Gaußklammerfunktion per
  • Kippregeln von Brüning

Kaufmännische Rundung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die kaufmännische Rundung auf die nächstliegende ganze Zahl kann auch mit diesen Funktionen ausgedrückt werden:

Dasselbe Ergebnis liefert, wenn auch mit einer etwas komplizierteren Formel, dafür unabhängig vom Vorzeichen des Arguments, die Funktion

  • .

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Earliest Uses of Function Symbols: Until recently [x] has been the standard symbol for the greatest integer function. According to Grinstein (1970), "The use of the bracket notation, which has led some authors to term this the bracket function, stems back to the work of Gauss (1808) in number theory. The function is also referred to by Legendre who used the now obsolete notation E(x)." The Gauss reference is to Theorematis arithmetici demonstratio nova. Werke Volume: Bd. 2 p. 5. (aufgerufen am 25. Juli 2009).
  2. Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (C): The terms CEILING FUNCTION and FLOOR FUNCTION appear in Kenneth E. Iverson's A Programming Language (1962, p. 12): "Two functions are defined: 1. the floor of x (or integral part of x) denoted by and defined as the largest integer not exceeding x, 2. the ceiling of x denoted by and defined as the smallest integer not exceeded by x." This was the first appearance of the terms and symbols, according to R. L. Graham, D. E. Knuth & O. Patashnik Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science (1989, p. 67). (aufgerufen am 25. Juli 2009).
  3. Max Koecher: Klassische elementare Analysis. Springer, 2013, ISBN 9783034851671, S. 115
  4. Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer, 3.Auflage, 2013, ISBN 9783642976223, S. 28
  5. Jürgen Groß: Grundlegende Statistik mit R: Eine anwendungsorientierte Einführung in die Verwendung der Statistik Software R. Springer, 2010, ISBN 9783834810397, S. 33-34