Numerische Äquivalenz

In der algebraischen Geometrie ist numerische Äquivalenz eine Äquivalenzrelation zwischen algebraischen Zykeln einer Varietät.

Definition

Zwei Zykel $Z_{1},Z_{2}$ derselben Dimension in einer Varietät $X$ heißen numerisch äquivalent, wenn für alle Zykel $T$ mit $dim(T)=kodim(Z_{i})$ die Gleichung

$deg(Z_{1}\cap T)=deg(Z_{2}\cap T)$

gilt. Hierbei bezeichnet $deg$ den Grad der Untervarietäten, also die Schnittzahl mit einer Menge von Hyperebenen in allgemeiner Lage.

Eigenschaften

1. Linearität: Numerische Äquivalenz ist kompatibel mit der Addition von Zykeln.
2. Chow's Moving Lemma: Zu Zykeln $A,B$ in einer Varietät $X$ gibt es einen zu $A$ numerisch äquivalenten Zykel $A^{\prime }$, der zu $B$ in allgemeiner Lage ist.
3. Push-Forwards: Sei $A$ ein Zykel in $X$ und $B$ ein Zykel in $X\times Y$, der zu $A\times Y$ in allgemeiner Lage ist. Wenn $A$ numerisch null-äquivalent ist, dann ist die Projektion von $B\cdot (A\times Y)$ auf $Y$ numerisch null-äquivalent.

Dieselben Eigenschaften haben auch die Äquivalenzrelationen rationale Äquivalenz, algebraische Äquivalenz und homologische Äquivalenz, unter denen die numerische Äquivalenz aber die schwächste Äquivalenzrelation ist.

Literatur

• Uwe Jannsen: "Equivalence relations on algebraic cycles", The Arithmetic and Geometry of Algebraic Cycles, S. 225–260, Kluwer Ac. Publ. Co. (2000)