Poincaré-Abbildung

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Illustration der Wiederkehr einer Trajektorie nach .

Die Poincaré-Abbildung (auch Poincaré map, first return map, nach dem französischen Mathematiker Henri Poincaré) ist eine mathematische Methode zur Untersuchung des Flusses eines kontinuierlichen n-dimensionalen dynamischen Systems. Dazu betrachtet man die Schnittpunkte einer Trajektorie mit einer (n-1)-dimensionalen transversalen Hyperfläche , dem Poincaré-Schnitt. Die Poincaré-Abbildung ist die Abbildung die jedem dieser Schnittpunkte den jeweils nächsten zuordnet und ist somit ein (n-1)-dimensionales diskretes dynamisches System.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Poincaré-Schnitt für eine periodische Trajektorie

Betrachte die Differentialgleichung und bezeichne mit den Fluss, also die Lösung zur Anfangsbedingung . Angenommen, es gibt eine periodische Trajektorie, also eine Lösung , die bei startet und nach einer bestimmten Zeit wieder dorthin zurückkehrt, . Dann kann man eine Fläche wählen, die transversal zur Trajektorie ist und diese in schneidet. Alle Trajektorien, die in Punkten in der Nähe von starten, werden dann nach einer bestimmten Zeit wieder die Fläche schneiden. Es gibt also eine kleinste positive Zeit , für die gilt. Dann ist die Poincaré-Abbildung gegeben durch . Speziell für die periodische Trajektorie erhält man einen Fixpunkt: . Die Frage, ob die periodische Trajektorie stabil ist, ist nun äquivalent zur Frage, ob der entsprechende Fixpunkt der Poincaré-Abbildung stabil ist.

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Poincaré-Abbildung ist besonders zur Untersuchung der geometrischen Strukturen chaotischer Attraktoren geeignet, da die zeitliche Diskretisierung eine wesentliche Vereinfachung darstellt.[1]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Manfred von Ardenne et al.: Effekte der Physik und ihre Anwendungen. Verlag Harry Deutsch, Frankfurt 2005. ISBN 3-8171-1682-9 S. 1130