Rabi-Oszillation

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schematische Darstellung eines Zweizustandssystems, das mit elektromagnetischer Strahlung wechselwirkt.

Rabi-Oszillationen treten in einem quantenmechanischen Zwei-Niveau-System (z. B. zwei Zustände in einem Atom) auf, welches mit einer externen periodischen Kraft (z. B. ein Laser-Lichtfeld bei Laserspektroskopie oder ein oszillierendes Magnetfeld bei Kernspinresonanzspektroskopie) mit (Kreis-)Frequenz \omega wechselwirkt. Liegt die Anregungsfrequenz \omega nahe der Resonanzfrequenz \omega_{21}=\Delta E/\hbar=(E_2-E_1)/\hbar der zwei Zustände, so oszilliert die Besetzung der Zustände mit einer Frequenz \Omega, die auch als Rabi-Frequenz bezeichnet wird. Sie ist nach dem amerikanischen Physiker Isidor Isaac Rabi benannt.

Rabi-Oszillationen sind vor allem für die Beschreibung der Wechselwirkung von kohärentem Licht mit Atomen wichtig. Unter bestimmten vereinfachenden Annahmen können zwei Elektronenzustände des Atoms als Zwei-Niveau-System genähert werden, welches durch das (schwache) Lichtfeld gestört wird. Damit lassen sich die Eigenschaften des Systems im Rahmen seiner störungstheoretischen Betrachtung berechnen. Das Ansteigen der Besetzungswahrscheinlichkeit des zweiten (energetisch höheren) Zustands entspricht dann der Absorption des Lichts. Rabi-Oszillationen sind experimentell messbar. In vielen Fällen spielen allerdings Dämpfungs- oder Dephasierungsprozesse eine wichtige Rolle, wodurch die Oszillationen schnell abklingen und (wenn überhaupt) nur für sehr kurze Zeiten zu beobachten sind.

Resonante Wechselwirkung[Bearbeiten]

Die beiden Zustände 1 und 2 des Systems haben die Energien E_1 und E_2. Die zugehörige Frequenz des Übergangs ist dann \omega_{21} = \frac{E_2-E_1}{\hbar}. Ist die Störung resonant, also \omega\equiv\omega_{21}, so ist die Rabi-Frequenz im Falle von Atom-Licht-Wechselwirkung:

\Omega_{\mathrm{Atom-Licht}}=\frac{\vec{d}_{12}\cdot \vec{E}_0}{\hbar}

Hierbei ist \vec{E}_0 die Stärke des eingestrahlten Lichtfeldes (elektrische Feldkomponente, die hier überwiegt), \vec{d}_{12} das Übergangsdipolmoment des Übergangs 1\rightarrow 2 und \hbar das reduzierte Planck'sche Wirkungsquantum. Im Falle der Kernspinresonanz-Spektroskopie (NMR) wechselwirkt ein oszillierendes Magnetfeld mit Stärke \vec{B}_1 mit dem durch den Kernspin \vec{I} erzeugten magnetischen Dipolmoment \vec{\mu}=\gamma\cdot\vec{I} eines Atoms. Die Rabi-Frequenz dieses Systems ergibt sich mit dem gyromagnetischen Verhältnis \gamma zu:

\Omega_{\mathrm{NMR}}=\gamma\cdot B_1

Die Besetzungswahrscheinlichkeiten p_{1}(t) und p_{2}(t) der Zustände oszillieren mit der Rabi-Frequenz \Omega nach folgender Formel:

p_1(t)=\cos^2\left(\frac{\Omega\cdot t}{2}\right) und p_2(t)=\sin^2\left(\frac{\Omega\cdot t}{2}\right)

Dabei wurde davon ausgegangen, dass zur Zeit t=0 nur der Grundzustand 1 besetzt war.

Verstimmte Wechselwirkung[Bearbeiten]

Wird nun statt eines resonanten Störfelds, ein um \Delta = \omega_{21} - \omega verstimmtes Störfeld eingestrahlt, so ändert sich auch die Rabi-Frequenz zu:

\Omega'\equiv\sqrt{\Omega^2+\Delta^2}

wobei \Omega die Rabi-Frequenz des resonant gestörten Systems ist. Eine vollständige theoretische Behandlung ist mit Hilfe der zeitabhängigen Störungstheorie möglich. Für die Besetzungswahrscheinlichkeit p_2(t) des angeregten Zustands ergibt sich daraus dann folgender zeitlicher Verlauf (zur Zeit t=0 war wieder nur der Grundzustand 1 besetzt):

p_2(t)=\frac{\Omega^2}{\Omega'^2}\sin^2\frac{\Omega'\cdot t}{2}

und die Besetzungswahrscheinlichkeit für den Zustand 1 ist p_1(t)= 1 - p_2(t). Die Besetzung p_2(t) ist im folgenden Bild für verschiedene Verstimmungen \Delta dargestellt:

Rabi-Oszillationen (Besetzungswahrscheinlichkeit ) des angeregten Zustands 2 für verschiedene Verstimmungen des einfallenden Lichts:  (resonant), , . Die Zeit ist in Einheiten von  dargestellt

Durch die externe Störung wird der Zustand 2 bis zu einem Maximalwert besetzt und dann wieder abgebaut. Dieses Verhalten setzt sich periodisch fort. Bemerkenswert ist in diesem Fall, dass eine vollständige Umsetzung nur dann möglich ist, wenn die Verstimmung Null ist, die Frequenz der Störung die Übergangsfrequenz also resonant trifft. Weiterhin ist anzumerken, dass die Rabi-Oszillationen in diesem (vereinfachten) Modell für alle Zeiten fortlaufen und somit eine stationäre Umbesetzung der Zustände bei eingeschalteter Störung nicht möglich ist.

Die Amplitude der Rabi-Oszillationen beschreibt den Wirkungsquerschnitt \sigma(\omega) bei Anregung des Zwei-Niveauübergangs. Sie lautet nach obiger Formel für p_2(t):

\sigma_{\mathrm{12}}(\omega)\propto\frac{\Omega^2}{\bigl| \Omega^2+\left(\omega_{12}-\omega\right)^2\bigr|}

Dies entspricht einer Lorentzkurve, wie sie auch für andere Resonanzphänomene typisch ist.

Zur Herleitung[Bearbeiten]

Der Hamilton-Operator des Systems zerfällt in zwei Anteile:

\hat{H} = \hat{H}^{(0)} + \hat{H}^{(1)}(t), mit \hat{H}^{(1)}(t)=\hbar\Omega\cdot\cos(\omega t)

wobei \hat{H}^{(0)} das ungestörte Zwei-Niveau-System und \hat{H}^{(1)}(t) die zeitabhängige Störung beschreiben. Die bereits oben erwähnten Zustände |1\rangle, |2\rangle sind nun die Lösungen des ungestörten Hamilton-Operators:

\hat{H}^{(0)}|1\rangle=E_1|1\rangle und \hat{H}^{(0)}|2\rangle=E_2|2\rangle.

Mit diesen Zuständen kann man die Lösung |\Psi(t)\rangle der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung

\hat{H}|\Psi(t)\rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t}|\Psi(t)\rangle

als Linearkombination ansetzen:

|\Psi(t)\rangle = c_1(t)\cdot\exp(-iE_1t/\hbar)\cdot|1\rangle+c_2(t)\cdot\exp(-iE_2t/\hbar)|2\rangle.

Die Lösung dieses Ansatzes ergibt dann:

c_1(t)=\left[\cos\left(\frac{\Omega't}{2}\right)-i\frac{\Delta}{\Omega'}\cdot\sin\left(\frac{\Omega't}{2}\right)\right]\cdot e^{i\Delta\cdot t/2} und
c_2(t)=-i\frac{\Omega}{\Omega'}\cdot\sin\left(\frac{\Omega't}{2}\right)\cdot e^{-i\Delta \cdot t/2},

woraus sich die obigen Besetzungswahrscheinlichkeiten als p_1(t)=|c_1(t)|^2 und p_2(t)=|c_2(t)|^2 ergeben.

Quellen[Bearbeiten]

  • P. W. Milonni, J. H. Eberly, Lasers, Wiley, 1988, ISBN 0-471-62731-3
  • H. J. Metcalf, P. van der Straten, Laser Cooling and Trapping, Springer, 1999, ISBN 0-387-98747-9, S. 4-7
  • P. W. Atkins, R. S. Friedman, Molecular Quantum Mechanics, 4. Aufl., Oxford University Press, Oxford, 2004, ISBN 0199274983

Weblinks[Bearbeiten]