Der Begriff resurgente Funktion (von lateinisch resurgere, wieder aufstehen) stammt aus der Écalle-Theorie (auch Theorie der resurgenten Funktionen und des Alien-Kalküls). Die Theorie hat sich aus der Summierbarkeit divergenter Reihen (siehe Borel-Summation) entwickelt und behandelt analytische Funktionen mit isolierten Singularitäten. Der Begriff wurde in den späten 1970ern von dem französischen Mathematiker Jean Écalle eingeführt.
Resurgente Funktionen haben Anwendung in der asymptotischen Analysis, in der Theorie der Differentialgleichungen, der Störungstheorie und der Quantenfeldtheorie.
Für analytische Funktionen mit isolierten Singularitäten lässt sich das Alien-Kalkül (Alien calculus) herleiten, eine spezielle Algebra für ihre Ableitungen.
Eine
-resurgente Funktion ist ein Element aus
, das heißt ein Element der Form
aus
, wobei
und
ein
-fortsetzbarer Keim ist.[1]
Eine Potenzreihe
, deren formale Borel-Transformation eine
-resurgente Funktion ist, nennt man
-resurgente Reihe.
Konvergenz in
:
Die formale Potenzreihe
ist konvergent in
, falls die assoziierte formale Potenzreihe
einen positiven Konvergenzradius hat. Mit
bezeichnet man den Raum der formalen Potenzreihen konvergent in
.[1]
Formale Borel-Transformation:
Die formale Borel-Transformation (nach Émile Borel benannt) ist der Operator
definiert durch
.[1]
Konvolution in
:
Seien
, dann ist die Konvolution geben durch
.
Durch Adjunktion können wir der Konvolution in
eine Einheit hinzufügen und führen den Vektorraum
ein, wobei wir das Element
mit
bezeichnen. Mit der Konvention
können wir den Raum als
interpretieren und definieren
![{\displaystyle (a\delta +{\hat {\phi }})*(b\delta +{\hat {\psi }}):=ab\delta +a{\hat {\psi }}+b{\hat {\phi }}+{\hat {\phi }}*{\hat {\psi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c770c5df3d9266de9a873d80c39b2df49391b02a)
und setzen
.[1]
-fortsetzbarer Keim:
Sei
eine nicht-leere, diskrete Untermenge von
und definieren
.
Sei
der Konvergenzradius von
.
ist ein
-fortsetzbarer Keim, falls ein
existiert, so dass
und
, und
analytische Fortsetzungen besitzt, entlang irgendeines Pfades in
beginnend in einem Punkt in
.
bezeichnet den Raum der
-fortsetzbaren Keime in
.[1]
- Les Fonctions Résurgentes, Jean Écalle, Band 1–3, Pub. Math. Orsay, 1981–1985
- Divergent Series, Summability and Resurgence I, Claude Mitschi und David Sauzin, Springer Verlag
- ↑ a b c d e Claude Mitschi, David Sauzin: Divergent Series, Summability and Resurgence I. 1. Auflage. Springer Verlag, Schweiz 2016, ISBN 978-3-319-28735-5 (englisch).