Richtungsfeld

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Ein Richtungsfeld dient zur zeichnerischen Bestimmung von Näherungslösungen einer Differentialgleichung.

Mathematische Beschreibung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Richtungsfeld einer (expliziten) Differentialgleichung (erster Ordnung) wird gebildet, indem man jedem Punkt in der Ebene einen Vektor mit Steigung zuordnet. Dieser gibt die Richtung an, in der die Graphen möglicher Lösungen der Differentialgleichung, die durch den Punkt gehen, verlaufen.

Praktisch heißt das, dass in einem Koordinatensystem beliebige Punkte gewählt werden und dazu die Steigung durch Einsetzen in die Differentialgleichung berechnet wird. (Denn die Ableitung von entspricht gerade der Steigung der Funktion.)

Zu lautet die Gleichung der einzelnen Tangentenstücke der Länge :

Hilfreich bei der grafischen Darstellung sind häufig auch die Isoklinen, gegeben durch die Gleichung , also die Linien gleicher Steigung.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Richtungsfeld für

Die Differentialgleichung besitzt in allen Punkten die Steigung 0, da diese gegeben ist durch . Im Punkt beträgt sie , im Punkt dann . Mit genügend vielen Punkten bekommt man ein Richtungsfeld, in dem mögliche Lösungen zumindest ansatzweise sichtbar werden.

Octave-Script für Richtungsfeld[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Script für GNU Octave zeichnet ein Richtungsfeld für eine Differentialgleichung ersten Grades.

function Richtungsfeld(dgl)
% dgl ist die erste Ableitung von x nach t und ist i.A. eine Funktion von x und t

% Ausschnitt und Abstand zwischen den Vektoren
x = -5:1:5;
t = -5:.5:5;

for x_n = 1:length(x)
  for t_n = 1:length(t)
    len = sqrt( dgl(x(x_n), t(t_n))^2 + 1 ); % Länge des Vektors für Normierung
    dt(x_n,t_n) = 1 / len;                   % Länge des Vektors entlang der Abszisse
    dx(x_n,t_n) = dgl(x(x_n), t(t_n)) / len; % Länge des Vektors entlang der Ordinate
  end
end

quiver(t, x, dt, dx, '-r');  % Vektoren zeichnen

print('field.svg', '-dsvg')  % Plot als svg-Datei exportieren
%print('field.png', '-dpng')  % alternativ als png-Datei

Speichern unter Richtungsfeld.m – Aufruf des Skripts für die Differentialgleichung wie folgt:

dgl = @(x, t) x-t   % Funktionsdefinition
Richtungsfeld(dgl)  % Aufruf des Skripts

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • W. Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen: Eine Einführung. 7. Auflage. Springer, Berlin 2000, ISBN 3-540-67642-2
  • F. Reinhardt, H. Soeder: dtv-Atlas Mathematik. Band 2. 11. Auflage. Deutscher Taschenbuch Verlag, 1998, ISBN 3-423-03008-9