Rieszscher Darstellungssatz

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Der Rieszsche Darstellungssatz (nach Frigyes Riesz) ist in der Mathematik eine Aussage der Funktionalanalysis, die den Dualraum bestimmter Banachräume charakterisiert. Da Riesz an mehreren solchen Sätzen beteiligt war, werden verschiedene Sätze als Rieszscher Darstellungssatz bezeichnet. Meistens ist jedoch der Satz von Riesz-Markov gemeint.

Motivation[Bearbeiten]

In der Funktionalanalysis gewinnt man Informationen über die Struktur von Banachräumen aus dem Studium linearer, stetiger Funktionale. So erlaubt beispielsweise der Trennungssatz, mit ihrer Hilfe konvexe Mengen unter bestimmten Voraussetzungen voneinander zu trennen. Es ergibt sich damit als natürliche Aufgabe, den Raum aller solcher stetigen Funktionale – den Dualraum – näher zu studieren.

Dualräume von normierten Vektorräumen – und damit auch von Banachräumen – sind stets selbst Banachräume[1]. Das konstante Funktional x \mapsto 0 ist offenbar immer stetig und der Satz von Hahn-Banach sichert die Existenz „vieler“ weiterer stetiger Funktionale. Dieser Existenzsatz ist jedoch rein abstrakt und basiert auf nicht-konstruktiven Methoden wie dem Lemma von Zorn. Es liegt nun nahe, nach isometrischen Isomorphismen zwischen einem bekannten Raum und dem zu untersuchenden Dualraum zu suchen, um letzteren greifbar zu beschreiben.

In endlichdimensionalen Vektorräumen ist es leicht, Dualräume zu charakterisieren: Man betrachte als Beispiel ein Funktional f aus dem Dualraum von \R^2, den man als (\R^2)' bezeichnet. Nach Ergebnissen der linearen Algebra lässt es sich darstellen durch die Multiplikation mit einem Zeilenvektor von links:

x \mapsto \begin{pmatrix} f_1 & f_2 \end{pmatrix} x

und folglich mithilfe des Standardskalarprodukts auch als

x \mapsto \langle \vec f, x \rangle\;.

Die Abbildung


\begin{align}
\Phi \colon \R^2 &\to (\R^2)' \\
\vec f &\mapsto \langle \vec f, \cdot \rangle
\end{align}

ist bijektiv und isometrisch. Mithilfe von \Phi können wir also den Dualraum des \R^2 mit dem \R^2 selbst identifizieren.

Der Satz von Fréchet-Riesz verallgemeinert diese Erkenntnis auf allgemeine Hilberträume, während der Satz von Riesz-Markov den Dualraum von C^0(K), den Raum der stetigen Funktionen auf einem kompakten Hausdorff-Raum K, charakterisiert. Eine weitere bekannte, mit dem Namen Riesz verbundene Dualitätsbeziehung ist die Identifizierung der Dualräume von L^p-Räumen mit den Räumen L^q, wobei \scriptstyle \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1, siehe Dualität von L^p-Räumen.

Der Satz von Fréchet-Riesz[Bearbeiten]

Aussage[Bearbeiten]

Sei H ein Hilbertraum. Dann existiert zu jedem stetigen Funktional \alpha \in H' genau ein w \in H, sodass gilt:

\begin{align}
\alpha(v) & = \langle v, w \rangle~~\forall\,v\in H \\
\|\alpha\| & =\|w\|
\end{align}

Umgekehrt ist für gegebenes w \in H die Abbildung

v\mapsto \langle v, w \rangle

ein stetiges Funktional mit Operatornorm \|w\|.

Beweis[Bearbeiten]

Existenz: Sei \alpha\colon H\rightarrow \mathbb{C} ein stetiges, lineares Funktional.

Ist \alpha = 0, so wählt man w=0.

Ist \alpha \neq 0, dann ist sein Kern U:=\operatorname{Ker}(\alpha ) ein abgeschlossener Unterraum von H. Daher ist H=U\oplus U^\perp und da U\neq H, ist U^\perp \neq \{0\} .

Nun sei w_0\in U^\perp mit \|w_0\|=1. Dann ist \alpha (w_0)=c\neq 0. Setzt man w=\overline{c} w_0 , dann ist \alpha (w_0)=c=\langle w_0,w\rangle .

Nach dem Homomorphiesatz induziert \alpha einen Isomorphismus U^\perp \rightarrow \mathbb{C}. Also ist U^\perp = \mathbb{C} w_0 , insbesondere ist jedes  v\in H von der Form v=\lambda w_0 + u mit u\in U. Daher ist \alpha(v)=\alpha(\lambda w_o + u)=\lambda c =\langle v,w\rangle

Für die Eindeutigkeit sei angenommen, es gebe einen weiteren Vektor w^\prime mit \alpha (v) =\langle v,w^\prime\rangle . Dann gilt für jedes v\in H, dass \langle v,w-w^\prime\rangle =0. Also insbesondere folgt für v=w-w^\prime, dass w-w^\prime=0.

Der Satz von Riesz-Markov[Bearbeiten]

Der Satz von Riesz-Markov charakterisiert den Dualraum der stetigen Funktionen auf einem kompakten Hausdorffraum. Er stellt die stetigen linearen Funktionale als Integral dar. Konkret besagt er:

K sei ein kompakter Hausdorffraum und F: C(K) \to \C ein stetiges lineares Funktional. Dann existiert ein eindeutiges reguläres komplexes Borelmaß \mu auf K, so dass

F(f) = \int_K f(x) ~d\mu(x)

für alle f\in C(K) erfüllt ist. Umgekehrt ist durch

f \mapsto \int_K f(x) ~d\mu(x)

bei einem gegebenen regulären komplexes Borelmaß \mu auf K ein stetiges Funktional definiert.[1]

Der Beweis zeigt sogar C(K)' \cong M(K), wobei M(K) der (Banach-)Raum der regulären komplexen Borelmaße auf K mit Variationsnorm ist.

Dualität von Lp-Räumen[Bearbeiten]

Hauptartikel: Dualität von L^p-Räumen

Der Satz von Fréchet-Riesz kann, da jeder Hilbertraum zu einem L^2-Raum isomorph ist, als Satz über L^2-Räume angesehen werden. Er lässt sich auf L^p-Räume verallgemeinern. Dieser in Kurzform (L^p)\,'\cong L^q lautende Satz wird oft als Satz von Riesz, seltener als Rieszscher Darstellungssatz, zitiert.

Literatur[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. a b  Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6. korrigierte Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 58ff (Korollar II.2.2/4/5).